Mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Man beweise mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung:
[mm] \forall [/mm] x > 0
x/(1+x) < ln (1+x) < x |
Ich hab e angewendet
[mm] e^{\frac{x}{1+x}} [/mm] < 1 + x < [mm] e^x
[/mm]
x < [mm] e^x [/mm] - 1
x > [mm] e^{\frac{x}{1+x}}-1
[/mm]
Mittelwertsatz ist mir bekannt. Sei f:[a,b] -> [mm] \IR [/mm] stetig, differenzierbar auf (a,b) => [mm] \exists x_0 \in [/mm] (a,b) : [mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
[/mm]
Wäre dankbar für jeden Gedankenanstoß ;))
|
|
| |
|
Huhu,
erstmal dividieren wir den Spaß durch x (warum können wir das problemfrei machen?), dann steht da:
[mm] $\bruch{1}{1+x} [/mm] < [mm] \bruch{\ln(1+x)}{x} [/mm] < 1$
Ein bisschen mit Nullen rumspielen:
[mm] $\bruch{1}{1+x} [/mm] < [mm] \bruch{\ln(1+x) - \ln(1)}{x - 0} [/mm] < 1$
Und nun kannst du beide Abschätzungen problemfrei mit dem Mittelwertsatz sowie eines Monotonie-Arguments begründen.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Lu- |
Wie kommt man darauf, dass man das genau so umformt ;)?, dass es passt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie kommt man darauf, dass man das genau so umformt ;)?,
> dass es passt?
probieren. Das ist ein wenig Erfahrungssache - bzw. wie Gono auch geschrieben hat: Man spielt ein wenig mit 0en und sucht quasi "einen passenden Differenzenquotienten". Allerdings:
Die für $x > -1$ definierte Funktion
$$x [mm] \mapsto \ln(1+x)\;$$
[/mm]
einfach mal abzuleiten, kann einem schonmal weiterhelfen. Wichtig ist hier allerdings:
Betrachte hier immer, für jedes $x > [mm] 0\,,$ [/mm] die Einschränkung(en) dieser Funktion auf [mm] $[0,x]\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Lu- |
danke ;)
So mal weiter..
[mm] \bruch{\ln(1+x) - \ln(1)}{x - 0}
[/mm]
Das ist also ein Differenzenquotient, und zwar von der Funktion ln(x) an der Stelle 1
[mm] ln'(x_0) [/mm] = [mm] \bruch{\ln(1+x) - \ln(1)}{x - 0}
[/mm]
[mm] \frac{1}{x_0} =\bruch{\ln(1+x) - \ln(1)}{x - 0}
[/mm]
1/(1+x) < [mm] 1/x_0 [/mm] < 1
1 < [mm] x_0 [/mm]
[mm] x_0< [/mm] 1+ x
HAb ich was falsch gemacht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Di 24.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke ;)
> So mal weiter..
>
> [mm]\bruch{\ln(1+x) - \ln(1)}{x - 0}[/mm]
> Das ist also ein
> Differenzenquotient, und zwar von der Funktion ln(x) an der
> Stelle 1
nein! Sondern von der Funktion (wir schreiben hier besser mal nicht [mm] $x\,$ [/mm] als Funktionsvariable) $r [mm] \mapsto \ln(1+r)\,,$ [/mm] und der Differenzenquotient wird bzgl. den Stellen [mm] $0\,$ [/mm] und $x$ (bzw., wie man auch sagt: im Intervall $[0,x]$) gebildet. Das ist kein Differentialquotient!!
Und:
Schreib' bitte (mehr!) Text dazu und benutze passende Symbole, wenn angebracht. Ansonsten wirst Du selber irgendwann nicht mehr (schnell) verstehen, was Du da gemacht hast. Also:
Es gibt ein $0 < [mm] x_0 [/mm] < x$ so, dass
> [mm]ln'(x_0)[/mm] = [mm]\bruch{\ln(1+x) - \ln(1)}{x - 0}[/mm]
> [mm]\red{\frac{1}{x_0}} =\bruch{\ln(1+x) - \ln(1)}{x - 0}[/mm]
Vorsicht!!
Hier gehört (siehe oben, denn ein wenig besser formuliert: Wir betrachten $r [mm] \mapsto \ln(1+r)$ [/mm] auf dem Intervall $[0,x]$ mit beliebigem, aber festem $x > 0$)
[mm] $$\gdw \frac{1}{1+x_0}=\frac{\ln(1+x)-\ln(1)}{x-0}$$
[/mm]
hin!
> 1/(1+x) < [mm]1/x_0[/mm] < 1
>
> 1 < [mm]x_0[/mm]
>
> [mm]x_0<[/mm] 1+ x
>
> HAb ich was falsch gemacht?
Du solltest beachten, dass wir $0 < [mm] x_0 [/mm] <x$ haben.
Du weißt nun:
[mm] $$1/(1+x_0)=\frac{\ln(1+x)}{x}\,.$$
[/mm]
Nun kannst Du [mm] $1/(1+x_0)$ [/mm] nach unten abschätzen:
[mm] $$1/(1+x_0) [/mm] > [mm] 1/(1+x)\,,$$
[/mm]
weil ja $0 [mm] \blue{ < x_0 < x}$ [/mm] gilt, und auch nach oben
[mm] $$1/(1+x_0) [/mm] < [mm] 1/(1+0)\,,$$
[/mm]
weil ja [mm] $\blue{0 < x_0} [/mm] < x$ gilt.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:38 Di 24.01.2012 | | Autor: | Lu- |
Also ist es nun der ganze spaß schon bewiesen?
Ich hab mich versucht an:
[mm] \wurzel{1+x} [/mm] < 1 + x/2
Überlegung:
[mm] (\wurzel{1+x})' [/mm] = [mm] \frac{1}{2*\wurzel{1+x}}
[/mm]
Umformung:
[mm] \wurzel{1+x} [/mm] - 1 < x/2
[mm] \frac{\wurzel{1+x} - 1}{x} [/mm] < 1/2
Funktion:
r-> [mm] \wurzel{1+r}
[/mm]
Mittelwertsatz
[mm] \frac{f(x) - f(0)}{x-0} [/mm] = [mm] \frac{\wurzel{1+x} - \wurzel{1-0}}{x} [/mm] = [mm] \frac{\wurzel{1+x}-1}{x} [/mm] = [mm] (\wurzel{1+x_0})' [/mm]
<=>
[mm] \frac{\wurzel{1+x}-1}{x} [/mm] = [mm] \frac{1}{2*\wurzel{1+x_0}}
[/mm]
dabei ist x < [mm] x_0 [/mm] < 0
[mm] \frac{\wurzel{1+x}-1}{x} [/mm] = [mm] \frac{1}{2* \wurzel{1+x_0}} [/mm] < [mm] \frac{1}{2*\wurzel{1+x}} [/mm] < 1/2
|
|
|
| |
|
Hiho,
wenn man Schusselfehler macht, kann das auch nix werden 
Ansonsten siehts aber auch schon gut aus.
> Ich hab mich versucht an:
> [mm]\wurzel{1+x}[/mm] < 1 + x/2
> [mm]\frac{\wurzel{1+x} - 1}{x}[/mm] < 1/2
Nutze doch auch für "normale" Brüche bitte die Bruchfunktion des Editors.
Da steht also:
z.z. [mm]\frac{\wurzel{1+x} - 1}{x} < \frac{1}{2}[/mm]
Das ist auch richtig.
> [mm]\frac{\wurzel{1+x}-1}{x}[/mm] = [mm]\frac{1}{2* \wurzel{1+x_0}}[/mm] <
> [mm]\frac{1}{2*\wurzel{1+x}}[/mm] < 1/2
Die erste Abschätzung ist Blödsinn, die zweite wieder richtig.
Es gilt doch [mm] $x_0 [/mm] < x$ und damit
[mm]\frac{1}{2* \wurzel{1+x_0}} > \frac{1}{2*\wurzel{1+x}}[/mm] !
Lass die Abschätzung weg und alles ist gut.
Schätze [mm] x_0 [/mm] durch 0 ab und dann steht doch die [mm] \bruch{1}{2} [/mm] da!
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:58 Di 24.01.2012 | | Autor: | Lu- |
Jetzt habs verstanden ;) Vielen Dank euch!!!!
Um 1 Uhr seien mir Schusselfehler erlaubt ;)
Gute Nacht.
|
|
|
|
