Mittelwertsatz anwenden < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien n [mm] \in \IN [/mm] und a,b [mm] \in \IR [/mm] Das Polynom f : [mm] \IR ->\IR [/mm] sei definiert durch
f(x) = [mm] x^n [/mm] + ax + b
Zeigen Sie, dass f für gerades n höchstens zwei verschiedene und für ungerades n höchstens drei verschiedene reelle Nullstellen besitzt. |
Hi,
in unserer Übung haben wir eine ähnliche Aufgabe mit den Mittelwertsatz gelöst, deswegen gehe ich davon aus, dass es hier auch angewand werden soll.
Dafür leite ich f(x) auf: F(x) = [mm] \frac{x^n}{n} [/mm] + [mm] 0,5ax^2 [/mm] + bx
F ist stetig auf [0,1] und diffbar in ]0,1[ , somit darf ich den Mittelwertsatz anwenden: [mm] \exists \mu \in [/mm] ]0,1[ :
F(1)-F(0) = [mm] f(\mu) [/mm] (1-0) = [mm] f(\mu)
[/mm]
<=> F(1) = [mm] \frac{1}{n} [/mm] + 0,5a + b = [mm] x^n [/mm] +ax + b
bin ich hier überhaupt auf den richtigem Pfad?
Snafu
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Hey Snafu,
ich bin mir nicht sicher ob Dein Ansatz stimmt. Aus
[mm] $F(1)-F(0)=f(\mu)*(1-0)=f(\mu)$ [/mm] folgt doch nicht, dass
$F(1) = f(x)$, sondern
[mm] $F(1)=f(\mu)+F(0)$, [/mm] also [mm] $\bruch{1}{(n+1)}+\bruch{a}{2}+b=\mu^n+a\mu+b$. [/mm] (Ich glaube Deine Stammfunktion war nicht ganz richtig)
Damit hast Du aber keine Gleichung in $x$, wie willst Du also auf die Nullstellen schließen?
Ich würde mir stattdessen die Ableitung des Polynoms anschauen - kannst Du dann nicht mit dem Satz von Rolle argumentieren?
Gruß Kevin
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Hi,
ja aber wenn ich das Polynom differenziere und dann mit dem Satz von Rolle arbeite kann ich ja nur was über f''(x) aussagen das da Nullstellen sind. Ich muss aber für f(x) die Nullstelle zeigen.
Oder verstehe ich da was nicht?
Snafu
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naja, das habe ich vielleicht ein bisschen undeutlich ausgeführt: hier meine Idee (erst mal $n$ gerade).
Wir machen einen Widerspruchsbeweis und nehmen einfach an es gebe 3 oder mehr verschiedene reelle Nullstellen.
Damit ist schon mal klar, dass geht nur wenn $n>0$, weiter ist
[mm] $f'(x)=n*x^{n-1}+a$ [/mm] und nach Rolle muss das doch 2 verschiedene (!) reelle Nullstellen haben, betrachte also
$f'(x)=0$, das ist äquivalent zu
[mm] $x^{n-1}=-\bruch{a}{n}$ [/mm] also
$x = [mm] \wurzel[n-1]{-\bruch{a}{n}}$
[/mm]
...
hilft Dir das?
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Hi,
ich bin grad ein wenig verwirrt, wolen wir nicht die einfach Nullstellen habe? Also f(x) = 0?
Snafu
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Nein, die konkreten Nullstellen interessieren überhaupt nicht - wir müssen nur zeigen, dass es für $n$ gerade höchstens 2 reelle geben kann.
Ich führe mein Argument mal zuende aus:
Wir machen einen Widerspruchsbeweis und nehmen einfach an es gebe 3 oder mehr verschiedene reelle Nullstellen.
(das ist das Gegenteil von es gibt höchstens 2 verschiedene reelle Nullstellen)
Damit ist schon mal klar, dass geht nur wenn $ n>0 $, weiter ist
$ [mm] f'(x)=n\cdot{}x^{n-1}+a [/mm] $ und nach Rolle muss das doch 2 verschiedene (!) reelle Nullstellen haben, betrachte also
$ f'(x)=0 $, das ist äquivalent zu
$ [mm] x^{n-1}=-\bruch{a}{n} [/mm] $ also
$ x = [mm] \wurzel[n-1]{-\bruch{a}{n}} [/mm] $
wegen $n$ gerade ist $n-1$ ungerade und eine ungerade Wurzel aus einer Negativen Zahl ist eindeutig bestimmt, d.h. es gibt nur eine Nullstelle der ersten Ableitung, das ist aber doch ein Widerspruch zum Satz von Rolle!
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Hi,
ich kann deine Argumentation noch nicht ganz folgen
> $ [mm] f'(x)=n\cdot{}x^{n-1}+a [/mm] $ und nach Rolle muss das doch 2 verschiedene (!) reelle Nullstellen haben
Rolle sagt doch nur falls f(a) = f(b) => [mm] \exists \mu \in [/mm] ]a,b[ mit [mm] f'(\mu) [/mm] = 0, er erwähnt doch nicht von zwei verschiedenen Nullstellen?
Snafu
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Naja, also das folgt doch sofort aus dem Satz von Rolle! Wir haben doch angenommen, dass es 3 verschiedene reelle Nullstellen [mm] $x_0,x_1,x_2$ [/mm] gibt. An den Nullstellen hat die Funktion den Wert $0$... also liefert Rolle:
Es muss zwischen [mm] $x_0, x_1$ [/mm] und zwischen [mm] $x_1,x_2$ [/mm] je eine Nullstelle der Ableitung geben, die sind dann aber notwendig verschieden - Widerspruch.
Brüte mal ein bisschen drüber, ich glaube so stimmts!
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Hi,
ok ich glaube so langsam hab ichs.
Ann.: n gerade, f hat 3 Nullstellen [mm] f(x_i) [/mm] = 0 , i =1,2,3 .
Nach Roller: [mm] \exists \mu_1 \in ]x_1,x_2[ [/mm] und [mm] \mu_2 \in ]x_2,x_3[ [/mm] mit
[mm] f'(\mu_1) [/mm] = 0 und [mm] f'(\mu) [/mm] = 0
f'(x) = [mm] nx^{n-1} [/mm] + a = 0 <=> x = [mm] \sqrt[n-1]{\frac{-a}{n}} [/mm] hat aber nur eine Lösung => Widerspruch zur Ann. => hat f höchstens 2 Nullstellen
Aber muss ich hier nicht zeigen "dass" 2 Nullstellen möglich sind, so haben wir ja nur gezeigt, was nicht möglich ist?
Snafu
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Naja, die Behauptung ist nicht, dass es immer 2 verschiedene Nullstellen gibt, was auch falsch wäre (a=b=0)! sondern einfach, dass es keine drei oder mehr verschiedene geben kann. Wir habe einen Widerspruchsbeweis gemacht!
Es scheint mir schwierig so eine Aussage direkt konstruktiv zu beweisen, was nicht heißen soll dass es nicht möglich wäre. Wenn ihr solche Sachen in der Schule zeigen sollt - Hut ab!
Ach ja, den Fall n ungerade müsstest Du jetzt eigentlich hinbekommen.
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Hi,
ist der Unterschied bei ungeradem n nicht einfach das bei x = [mm] \sqrt[n-1]{\frac{-a}{n}} [/mm] dann ein gerade Wurzel aus einer negativen Zahl ist, was meiner Meinung nicht definiert ist?
Nebenbei, sind das keine Schulaufgaben. :)
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Doch, das kann man definieren kennst Du die komplexen zahlen durch Einführung von $i := [mm] \wurzel{-1}$?
[/mm]
Tut hier aber nichts zur Sache, wir wollen uns ja Arbeit sparen ;)
[mm] $x^{n}+a*x+b=x*(x^{n-1}+a)+b$.
[/mm]
[mm] $x^{n-1}+a$ [/mm] hat nach dem schon Gezeigten höchstens 2 reelle Nullstellen $(a=0, b=a)$.
dann hat [mm] $x^{n}+a*x+b$ [/mm] doch gerade dann drei Nullstellen, wenn $b = 0$ und [mm] $a\neq [/mm] 0$ sowie [mm] $x^{n-1}+a$ [/mm] zwei Nullstellen hat.
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Morgen,
> [mm] $x^{n-1}+a$ [/mm] hat nach dem schon Gezeigten höchstens 2 reelle Nullstellen $(a=0, b=a)$.
haben wir nicht gezeigt das [mm] x^{n}+a*x+b [/mm] bei geradem n höchsten 2 Nullstellen hat, weil [mm] x^{n-1}+a [/mm] bei geradem n höchsten eine Nullstelle hat?
So wie du argumentierst verstehe ich nicht, wo es von dem n abhängt?
Snafu
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Morgen ;)
Vorsicht! Wenn $n$ ungerade ist doch $n-1$ gerade, also kann ich einfach den ersten Teil verwenden.
> Morgen,
>
> > [mm]x^{n-1}+a[/mm] hat nach dem schon Gezeigten höchstens 2 reelle
> Nullstellen [mm](a=0, b=a)[/mm].
>
> haben wir nicht gezeigt das [mm]x^{n}+a*x+b[/mm] bei geradem n
> höchsten 2 Nullstellen hat, weil [mm]x^{n-1}+a[/mm] bei geradem n
> höchsten eine Nullstelle hat?
Ja!
> So wie du argumentierst verstehe ich nicht, wo es von dem
> n abhängt?
Warum sollte mein Argument von n abhängen? (Was genau soll das eigentlich heißen?) Ich zeige zunächst, dass die Aussage für gerade n wahr ist, und führe den ungeraden Fall dann auf den geraden zurück, wo ist das Problem?
>
> Snafu
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Hi,
ok dann glaube ich, blicke ich es gerade noch nicht ganz. Wir sind jetzt bei dem Fall, dass n ungerade ist :
dann ist n beim Term [mm] x^{n-1}+a [/mm] gerade => [mm] x^{n-1}+a [/mm] hat höchstens 2 Nullstellen( was wir vorher gezeigt haben)
=>
> dann hat [mm] $x^{n}+a*x+b$ [/mm] doch gerade dann drei Nullstellen, wenn $b = 0$ und [mm] $a\neq [/mm] 0$ sowie [mm] $x^{n-1}+a$ [/mm] zwei Nullstellen hat.
da komme ich nicht ganz mit, es kommt eine Nullstelle dazu weil die Potenz sich erhöht?aber wieso muss [mm] a\not=0 [/mm] sein?
Snafu
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Hey Bernd,
also, ich glaube Du hast Recht - beim zweiten Teil habe ich es mir ein bisschen "unzulässig" einfach gemacht :)
Vergiss das einfach, wir schließen wieder mit Rolle! Es gilt wieder
$ [mm] f'(x)=n\cdot{}x^{n-1}+a [/mm] $
mit $n$ ungerade, also $n-1$ gerade, wenn Du durch [mm] $n\neq [/mm] 0$ teilst, hast Du eine Situation wie im ersten Teil, also kann $f'$ nur maximal zwei verschiedene Nullstellen haben!
Rückwärts gelesen liefert die der Satz von Rolle dann die Behauptung. D.h. wenn die Ableitung nur max. zwei verschiedene Nullstellen hat, kann die Funktion nur max. drei verschiedene haben. (Formal könntest Du auch wieder einen Widerspruchsbeweis machen)
So ich hoffe jetzt stimmt alles, entschuldige die Verwirrung!
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Hi,
dann führe ich ein Widerspruchsbeweis :
n sei ungerade
Ann.: f hat mehr als drei Nullstellen. O.B.d.A. nehmen wir an f hat vier Nullstellen. Nach Rolle folgt: [mm] \exists \mu_i \in ]x_i [/mm] , [mm] x_{i+1} [/mm] [ i = 1,2,3 mit [mm] f'(\mu_i) [/mm] = 0 D.h. f' hat 3 Nullstellen.
Es gilt jedoch f'(x) = [mm] nx^{n-1} [/mm] + a mit n-1 ist gerade => f' hat max 2 Nullstelle => Widerspruch => f hat höchstens 3 Nullstellen
Mir ist nicht ganz verständlich, wieso man f' durch n teilen soll?
Snafu
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na, das ist eine formalie. wir hatten die aussage ja nur für normierte polynome gezeigt, du hast schon recht am argument ändert das nichts!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Sa 05.06.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
OK.
Vielen Dank!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
> ist der Unterschied bei ungeradem n nicht einfach das bei x
> = [mm]\sqrt[n-1]{\frac{-a}{n}}[/mm] dann ein gerade Wurzel aus einer
> negativen Zahl ist, was meiner Meinung nicht definiert ist?
neben dem Hinweis mit der komplexen Zahlenebene:
Es steht doch nirgends, dass $a [mm] \ge [/mm] 0$ sein soll. Und [mm] $n*x^{n-1}+a=0$ [/mm] ist für ungerades [mm] $n\,$ [/mm] nicht mehr äquivalent zu [mm] $x=\sqrt[n-1]{-a/n}$ [/mm] (da ja offensichtlich auch [mm] $x=-\sqrt[n-1]{-a/n}$ [/mm] diese Gleichung löst).
Und noch eine kleine Sache:
Meist definiert man (im Reellen), dass unter dem Wurzelzeichen generell stets nur eine Zahl [mm] $\ge [/mm] 0$ stehen soll (nichtnegativer Radikand). Das heißt, man schreibt z.B. nicht
[mm] $$x^3=-27 \gdw x=\red{\sqrt[3]{-27}}=-3,$$
[/mm]
sondern (wegen dieser Definition)
[mm] $$x^3=-27 \gdw x=-\sqrt[3]{27}=-3\,.$$
[/mm]
Allerdings gibt es da auch verschiedene Absprachen bzw. Standpunkte, siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) Wiki: Wurzeln aus negativen Zahlen. Sicherlich gibt es für beide "Absprachen" passenden Hintergründe.
Beste Grüße,
Marcel
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Vorsicht!
Deine Folgerung ist schwerwiegend falsch und zwar:
> Hi,
>
> ok ich glaube so langsam hab ichs.
> Ann.: n gerade, f hat 3 Nullstellen [mm]f(x_i)[/mm] = 0 , i =1,2,3
> Nach Roller: [mm]\exists \mu_1 \in ]x_1,x_2[[/mm] und [mm]\mu_2 \in ]x_2,x_3[[/mm]
> mit
> [mm]f'(\mu_1)[/mm] = 0 und [mm]f'(\mu)[/mm] = 0
Soweit richtig.
> f'(x) = [mm]nx^{n-1}[/mm] + a = 0 <=> x = [mm]\sqrt[n-1]{\frac{-a}{n}}[/mm]
> hat aber nur eine Lösung => Widerspruch zur Ann. => hat f
> höchstens 2 Nullstellen
Dein [mm] \gdw [/mm] ist schlichtweg falsch!
Das Wurzelziehen ist keine eindeutige Operation, so dass du durchaus mehrere Lösungen für x erhalten könntest.
Desweiteren muss die Wurzel aus -a gar nicht existieren (falls bspw. a positiv ist).
Aber du kannst argumentieren, dass [mm] nx^{n-1} [/mm] + a nur eine Nullstelle haben KANN für n gerade (warum?)
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Fr 04.06.2010 | | Autor: | kevin314 |
Hey Gono,
für ungerade $n$ gib es aber doch nur eine reelle Zahl $x$, die [mm] $x^n=a$ [/mm] erfüllt (und eben auch für negative Zahlen), desshalb ist das doch gerechtfertigt.
Etwa [mm] $(-3)^3 [/mm] = -27$. Was habe ich übersehen?
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Dass Wurzelziehen (wie Snafu schon schrieb) für negative Zahlen nicht definiert ist..... aber letztlich stimmts im großen und ganzen schon, was du geschrieben hast, nur so aufschreiben darf // sollte man es nicht.
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Hi,
> Aber du kannst argumentieren, dass [mm] nx^{n-1} [/mm] + a nur eine Nullstelle haben KANN für n gerade (warum?)
Weil es eine streng monoton wachsende Fkt. auf ganz [mm] \IR [/mm] ist, und somit y=0 nur einmal annehmen kann?
Snafu
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Hey Bernd,
genau, die Ableitung von [mm] $n*x^{n-1}+a, \quad [/mm] n$ gerade ist ja nur in $0$ gleich $0$ und das ist eine diskrete Teilmenge von [mm] $\IR$. [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vorsicht!
>
> Deine Folgerung ist schwerwiegend falsch und zwar:
>
> > Hi,
> >
> > ok ich glaube so langsam hab ichs.
> > Ann.: n gerade, f hat 3 Nullstellen [mm]f(x_i)[/mm] = 0 , i
> =1,2,3
>
> > Nach Roller: [mm]\exists \mu_1 \in ]x_1,x_2[[/mm] und [mm]\mu_2 \in ]x_2,x_3[[/mm]
> > mit
> > [mm]f'(\mu_1)[/mm] = 0 und [mm]f'(\mu)[/mm] = 0
>
> Soweit richtig.
>
> > f'(x) = [mm]nx^{n-1}[/mm] + a = 0 <=> x = [mm]\sqrt[n-1]{\frac{-a}{n}}[/mm]
> > hat aber nur eine Lösung => Widerspruch zur Ann. => hat f
> > höchstens 2 Nullstellen
>
> Dein [mm]\gdw[/mm] ist schlichtweg falsch!
> Das Wurzelziehen ist keine eindeutige Operation...
ich tu' mich mit dieser Aussage ein wenig schwer. Wie genau ist denn hier der Begriff Operation aufzufassen?
Denn $f: [mm] [0,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $f(x):=\sqrt{x}$ [/mm] ist sicherlich eine Funktion, es ist ja die Umkehrfunktion der Bijektion $q: [mm] [0,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $q(x):=x^2\,,$ [/mm] und analog zu Wiki-Beispiel ("Ist f eine Abbildung...") kann man da schon etwas als Operation ansehen.
Und auch entsprechend
dieser Erklärung: Operation, Wiki
ist die Wurzelfunktion als einstellige Verknüpfung durchaus eine Operation (es ist eine (einstellige) Operation auf [mm] $[0,\infty)$). [/mm] Oder übersehe ich da etwas?
P.S.:
Ich habe allerdings momentan auch nicht eine präzise mathematische Definition des Begriffes "Operation". Aber eines sollte man doch klarstellen, nämlich, dass die Wurzelfunktion (mit Definitionsbereich [mm] $[0,\infty)$) [/mm] - wie der Name schon sagt - eben eine Funktion ist. Und wer so etwas wie [mm] $\red{\sqrt{9}=\pm 3}$ [/mm] schreibt, schreibt schlichtweg Unsinn. Es gilt nämlich [mm] $\sqrt{9}=3$, [/mm] nur ist die Gleichung [mm] $x^2=9$ [/mm] i.a. nicht äquivalent zu [mm] $x=\sqrt{9}$, [/mm] sondern zu [mm] $|x|=\sqrt{9}$ [/mm] bzw. [mm] $x=\blue{\pm}\sqrt{9}=\pm3\,.$
[/mm]
Formal:
[mm] $$x=\pm3 \Rightarrow [/mm] |x|=3 [mm] \Rightarrow |x|^2=x^2=9\,.$$
[/mm]
Umgekehrt:
[mm] $$x^2=9 \Rightarrow [/mm] |x|=3, [mm] \text{ d.h.:}$$
[/mm]
Wenn [mm] $x^2=9$ [/mm] gilt, so folgt [mm] $|x|=3\,:$
[/mm]
Wäre nämlich $|x| < [mm] 3\,$ [/mm] so folgte [mm] $|x|^2=x^2 [/mm] < [mm] 3^2=9$ [/mm] wegen der Monotonie von $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty)\,,$ [/mm] und analog:
Wäre $|x| > 3$, so folgt auch [mm] $|x|^2=x^2 [/mm] > [mm] 3^2=9\,.$ [/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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