Mittelwertsatz der Integralr. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Wimme |
Also ich habe eine Verständnisfrage zu folgendem Satz:
Es sei f stetig und g Riemann integrierbar auf [a,b] mit g(x) [mm] \geq [/mm] 0 und x [mm] \in [/mm] [a,b] und [mm] \integral_{a}^{b}{g dx}>0.
[/mm]
Dann existiert ein [mm] \gamma [/mm] (hab vergessen wir das "richtige" Ding heißt) [mm] \in [/mm] (a,b) abhängig von f und g mit
[mm] \integral_{a}^{b}{fg dx} [/mm] = [mm] f(\gamma)\integral_{a}^{b}{g dx}
[/mm]
So, wie darf ich mir das anschaulich vorstellen?
Was genau ist überhaupt
[mm] \integral_{a}^{b}{fg dx}
[/mm]
wie müsste ich diese Fläche einzeichnen?
Danke euch!!
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> Also ich habe eine Verständnisfrage zu folgendem Satz:
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> Es sei f stetig und g Riemann integrierbar auf [a,b] mit
> g(x) [mm]\geq[/mm] 0 und x [mm]\in[/mm] [a,b] und [mm]\integral_{a}^{b}{g dx}>0.[/mm]
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> Dann existiert ein [mm]\gamma[/mm] (hab vergessen wir das "richtige"
> Ding heißt) [mm]\in[/mm] (a,b) abhängig von f und g mit
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> [mm]\integral_{a}^{b}{fg dx}[/mm] = [mm]f(\gamma)\integral_{a}^{b}{g dx}[/mm]
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> So, wie darf ich mir das anschaulich vorstellen?
> Was genau ist überhaupt
> [mm]\integral_{a}^{b}{fg dx}[/mm]
> wie müsste ich diese Fläche
> einzeichnen?
Ich glaube nicht, dass Du dieses Integral sinnvollerweise als Fläche unter einem anderen Graphen als dem von $fg$ auffassen kannst. Vielleicht hast Du in der Stochastik schon was von Wahrscheinlichkeitsdichten gehört. $g(x)$ könnte also z.B. eine solche Dichtefunktion sein. Das Integral [mm] $\int f(x)\cdot g(x)\; [/mm] dx$ könnte dann den Erwartungswert der Zufallsgrösse $f(x)$ darstellen. Der zusätzliche Faktor $g(x)$ bewirkt eine unterschiedliche "Gewichtung" beim "Aufintegrieren" der Werte von $f$.
Wie auch immer: Ich denke in diesem Falle würdest Du Deine "Intuition" am besten am konkreten Beweis orientieren: denn der ist ja recht einfach. Ist nämlich [mm] $\underline{f}=\min\{f(x)\mid x\in [a;b]\}$ [/mm] und [mm] $\overline{f}=\max\{f(x)\mid x\in [a;b]\}$, [/mm] dann gilt, wegen [mm] $g(x)\geq [/mm] 0$ für alle $x$, dass [mm] $\underline{f}\cdot g(x)\leq f(x)g(x)\leq \overline{f}\cdot [/mm] g(x)$. Mit der Monotonie des Integrals folgt sogleich
[mm]\underline{f}\cdot \int_a^b g(x)\;dx\leq \int_a^b f(x)\cdot g(x)\; dx\leq \overline{f}\cdot \int_a^b g(x)\; dx[/mm]
Der Zwischenwertsatz auf die stetige Funktion angewandt, liefert dann, dass es ein solches [mm] $\gamma\in [/mm] [a;b]$ mit [mm] $\underline{f}\leq f(\gamma)\leq \overline{f}$geben [/mm] muss, für das gilt [mm] $f(\gamma)\cdeot \int_a^bg(x)\; dx=\int_a^bf(x)\cdot g(x)\; [/mm] dx$
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