Mittenviereck vom bel. Viereck < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass das Mittenvierecks eines beliebigen Vierecks stets ein Parallelogramm ist. |
Hallo!
ich bin grad hier am grübeln, finde jedoch keinen gescheiten Ansatz.
Hat jemand von euch einen Denkanstoß für mich?
Liebste Grüße
Andreas
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> Beweisen Sie, dass das Mittenvierecks eines beliebigen
> Vierecks stets ein Parallelogramm ist.
> Hallo!
>
> ich bin grad hier am grübeln, finde jedoch keinen
> gescheiten Ansatz.
>
> Hat jemand von euch einen Denkanstoß für mich?
Vielleicht weisst Du, dass in einem Dreieck ABC die Verbindungslinie der Seitenmitten von AC und BC parallel Seite AB ist:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Falls ja: dann kannst Du zeigen, dass jeweils zwei einander gegenüberliegende Seiten des Mittenvierecks zu derselben Diagonalen des Mittenvierecks parallel sind (also auch untereinander parallel).
Du kannst diese Behauptung allerdings auch mit reiner Vektorrechnung zeigen, falls dies unbedingt erwünscht sein sollte.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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ich dank dir!
ich rechne beide ansätze mal durch, mal sehen wie weit ich komme^^
Die Vektorrechnung hatte ich schon im Kopf..
gilt das mit den Dreiecken für ein ganz beleibiges Dreieck?
und meinst du, dass ich zeigen soll, dass jeweils 2 seiten des mittenvierecks parallel sind zu einer diagonalen des Vierecks ?
LG
Andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Somebody |
> ich dank dir!
>
> ich rechne beide ansätze mal durch, mal sehen wie weit ich
> komme^^
>
> Die Vektorrechnung hatte ich schon im Kopf..
>
> gilt das mit den Dreiecken für ein ganz beleibiges
> Dreieck?
Ja. Du kannst dies z.B. aus dem Strahlensatz folgern. Du weisst sicher auch, dass die Mittelpunkte aller Verbindungsstrecken von zwei Punkten, die auf zueinander parallelen Geraden liegen, auf der Mittelparallelen dieser parallelen Geraden liegen müssen. Zeichne also im Dreieck ABC einfach eine Parallele zu AB durch die Ecke C...
Zum Weg über Vektorrechnung: sind [mm] $M_{a,b,c,d}$ [/mm] die vier Seitenmittelpunkte, dann musst Du zeigen, dass [mm] $\vec{M_aM}_b=\vec{M_dM_c}$ [/mm] ist. Die Koordinaten der Seitenmittelpunkte sind natürlich einfach die Mittelwerte der Koordinaten ihrer Endpunkte. Rein algebraische Umformungen der linken und rechten Seite von [mm] $\vec{M_aM}_b=\vec{M_dM_c}$ [/mm] ergeben denselben Ausdruck in den Koordinaten bzw. Ortsvektoren der Eckpunkte des Vierecks ABCD.
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Hallo,
wäre diese Folgerung richtig und ausreichend für ein Beweis?
[mm] \overline{M_{ab}M_{bc}}\parallel \overline{AC}\wedge \overline{M_{ad}M_{cd}}\parallel \overline{AC}
[/mm]
[mm] \gdw \overline{M_{ab}M_{bc}}\parallel \overline{M_{ad}M_{cd}}
[/mm]
Desweiteren gilt
[mm] \overline{M_{bc}M_{cd}}\parallel \overline{BD}\wedge \overline{M_{ab}M_{ad}}\parallel \overline{BD}
[/mm]
[mm] \gdw \overline{M_{bc}M_{cd}}\parallel \overline{M_{ab}M_{ad}}
[/mm]
Da nun gegenüberliegende Seiten des Mittenvierecks parallel sind, müssen sie ja zwangsläufig gleich lang sein.
Es ist bewiesen, dass das Mittenviereck eines beliebigen Vierecks ein Parallelogramm ist.
Kann man das so sagen?
Liebe Grüße
Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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> Hallo,
>
> wäre diese Folgerung richtig und ausreichend für ein
> Beweis?
>
> [mm]\overline{M_{ab}M_{bc}}\parallel \overline{AC}\wedge \overline{M_{ad}M_{cd}}\parallel \overline{AC}[/mm]
>
> [mm]\gdw \overline{M_{ab}M_{bc}}\parallel \overline{M_{ad}M_{cd}}[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] ist zu stark, hier gilt nur [mm] $\Rightarrow$, [/mm] aber dies genügt ja für Deinen Beweis.
>
> Desweiteren gilt
>
> [mm]\overline{M_{bc}M_{cd}}\parallel \overline{BD}\wedge \overline{M_{ab}M_{ad}}\parallel \overline{BD}[/mm]
>
> [mm]\gdw \overline{M_{bc}M_{cd}}\parallel \overline{M_{ab}M_{ad}}[/mm]
Auch hier gilt nur [mm] $\Rightarrow$.
[/mm]
>
> Da nun gegenüberliegende Seiten des Mittenvierecks parallel
> sind, müssen sie ja zwangsläufig gleich lang sein.
Ich für meinen Teil würde mich damit begnügen zu zeigen, dass die gegenüberliegenden Seiten des Mittenvierecks parallel zueinander sind. Dass daraus folgt, dass sie auch noch gleich lang sind, würde ich an Deiner Stelle keck als allgemein bekannt annehmen und gar nicht zu argumentieren versuchen. Etwas beweisen heisst ja immer nur: seine Gültigkeit auf bereits Bekanntes / Gewusstes zurückzuführen. Deshalb muss man immer etwas intuitiv abwägen, was ausdrücklich zeigen ist, und was als bereits bekannt angenommen werden darf. Zudem stellt sich die Frage, wie denn für Dich der Begriff "Parallelogramm" definiert ist. Bei mir ist "Parallelogramm" gerade so definiert: ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind. - Und dies hast Du gezeigt. - Aber es ist wahr: es gibt andere, aber äquivalente Definitionen des Begriffs "Parallelogramm".
> Es ist bewiesen, dass das Mittenviereck eines beliebigen
> Vierecks ein Parallelogramm ist.
>
> Kann man das so sagen?
Ja, nach meiner (und natürlich nicht nur meiner) Definition von "Parallelogramm" hast Du mit der obigen Überlegung, dass gegenüberliegende Seiten des Mittenvierecks zueinander parallel sein müssen, gezeigt, dass das Mittenvierecks ein Parallelogramm ist.
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oh natürlich, du hast recht mit [mm] \Rightarrow [/mm] und nicht [mm] \gdw [/mm] klar! ich bin da selbst sonst auch sehr pingelig!
Nun zur Vekotrmöglichkeit...
Wenn ich zeige, dass gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, komm ich auf folgenden Ausdruck:
[mm] \overline{M_{ad}M_{cd}}=\overline{M_{ab}M_{bc}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2}\wurzel{{d_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{d_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{d_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2}= \bruch{1}{2}\wurzel{{b_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{b_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{b_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2}
[/mm]
[mm] \gdw {d_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{d_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{d_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2= {b_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{b_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{b_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2 [/mm] ich kanns zwar noch zusammenfassen.....
[mm] \gdw ({d_{1}}^2-{b_{1}}^2)(c_{1}-a_{1})^2+({d_{2}}^2-{b_{2}}^2)(c_{2}-a_{2})^2+({d_{3}}^2-{b_{3}}^2)(c_{3}-a_{3})^2=0
[/mm]
wie komm ich nun aber hier nur weiter?
Danke für die Hilfe und Geduld 
Liebe Grüße
Andreas
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> oh natürlich, du hast recht mit [mm]\Rightarrow[/mm] und nicht [mm]\gdw[/mm]
> klar! ich bin da selbst sonst auch sehr pingelig!
>
> Nun zur Vekotrmöglichkeit...
>
> Wenn ich zeige, dass gegenüberliegende Seiten gleich lang
> sind, komm ich auf folgenden Ausdruck:
>
> [mm]\overline{M_{ad}M_{cd}}=\overline{M_{ab}M_{bc}}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{1}{2}\wurzel{{d_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{d_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{d_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2}= \bruch{1}{2}\wurzel{{b_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{b_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{b_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2}[/mm]
>
> [mm]\gdw {d_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{d_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{d_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2= {b_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{b_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{b_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2[/mm]
> ich kanns zwar noch zusammenfassen.....
>
> [mm]\gdw ({d_{1}}^2-{b_{1}}^2)(c_{1}-a_{1})^2+({d_{2}}^2-{b_{2}}^2)(c_{2}-a_{2})^2+({d_{3}}^2-{b_{3}}^2)(c_{3}-a_{3})^2=0[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> wie komm ich nun aber hier nur weiter?
Nee, dies ist viel zu mühsam. Mach besser folgendes: seien [mm] $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ [/mm] und [mm] $\vec{d}$ [/mm] die Ortsvektoren der Eckpunkte des Vierecks $ABCD$. Dann sind die Ortsvektoren der Seitenmitten [mm] $M_{a,b,c,d}$ [/mm] gleich [mm] $\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$, $\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})$, $\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{2}(\vec{d}+\vec{a})$. [/mm] Schreibe nun die beiden Vektoren [mm] $\vec{M_aM}_b$ [/mm] und [mm] $\vec{M_dM}_c$, [/mm] von denen Du zeigen möchtest, dass sie gleich sind, mit Hilfe dieser mit [mm] $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ [/mm] und [mm] $\vec{d}$ [/mm] ausgedrückten Ortsvektoren. Zeige dann durch rein algebraische Umformung, dass diese beiden Seitenvektoren des Mittenvierecks gleich sind.
Hast Du dies geschafft, bist Du auch schon fertig. Denn dass die anderen beiden Seitenvektoren ebenfalls gleich sein müssen, gilt allgemein.
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> > oh natürlich, du hast recht mit [mm]\Rightarrow[/mm] und nicht [mm]\gdw[/mm]
> > klar! ich bin da selbst sonst auch sehr pingelig!
> >
> > Nun zur Vekotrmöglichkeit...
> >
> > Wenn ich zeige, dass gegenüberliegende Seiten gleich lang
> > sind, komm ich auf folgenden Ausdruck:
> >
> > [mm]\overline{M_{ad}M_{cd}}=\overline{M_{ab}M_{bc}}[/mm]
> > [mm]\gdw \bruch{1}{2}\wurzel{{d_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{d_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{d_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2}= \bruch{1}{2}\wurzel{{b_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{b_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{b_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2}[/mm]
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> >
> > [mm]\gdw {d_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{d_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{d_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2= {b_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{b_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{b_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2[/mm]
> > ich kanns zwar noch zusammenfassen.....
> >
> > [mm]\gdw ({d_{1}}^2-{b_{1}}^2)(c_{1}-a_{1})^2+({d_{2}}^2-{b_{2}}^2)(c_{2}-a_{2})^2+({d_{3}}^2-{b_{3}}^2)(c_{3}-a_{3})^2=0[/mm]
>
>
> > wie komm ich nun aber hier nur weiter?
>
> Nee, dies ist viel zu mühsam. Mach besser folgendes: seien
> [mm]\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}[/mm] und [mm]\vec{d}[/mm] die Ortsvektoren der
> Eckpunkte des Vierecks [mm]ABCD[/mm]. Dann sind die Ortsvektoren der
> Seitenmitten [mm]M_{a,b,c,d}[/mm] gleich
> [mm]\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})[/mm], [mm]\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})[/mm],
> [mm]\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})[/mm] und
> [mm]\frac{1}{2}(\vec{d}+\vec{a})[/mm].
ist das richtig? Ist der Ortsvektor nicht [mm] \bruch{1}{2}(\vec{a}+\overrightarrow{AB}) [/mm] statt [mm] \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})
[/mm]
Gruß
Andreas
Schreibe nun die beiden
> Vektoren [mm]\vec{M_aM}_b[/mm] und [mm]\vec{M_dM}_c[/mm], von denen Du zeigen
> möchtest, dass sie gleich sind, mit Hilfe dieser mit
> [mm]\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}[/mm] und [mm]\vec{d}[/mm] ausgedrückten
> Ortsvektoren. Zeige dann durch rein algebraische Umformung,
> dass diese beiden Seitenvektoren des Mittenvierecks gleich
> sind.
> Hast Du dies geschafft, bist Du auch schon fertig. Denn
> dass die anderen beiden Seitenvektoren ebenfalls gleich
> sein müssen, gilt allgemein.
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> > > oh natürlich, du hast recht mit [mm]\Rightarrow[/mm] und nicht [mm]\gdw[/mm]
> > > klar! ich bin da selbst sonst auch sehr pingelig!
> > >
> > > Nun zur Vekotrmöglichkeit...
> > >
> > > Wenn ich zeige, dass gegenüberliegende Seiten gleich lang
> > > sind, komm ich auf folgenden Ausdruck:
> > >
> > > [mm]\overline{M_{ad}M_{cd}}=\overline{M_{ab}M_{bc}}[/mm]
> > > [mm]\gdw \bruch{1}{2}\wurzel{{d_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{d_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{d_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2}= \bruch{1}{2}\wurzel{{b_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{b_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{b_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\gdw {d_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{d_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{d_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2= {b_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{b_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{b_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2[/mm]
> > > ich kanns zwar noch zusammenfassen.....
> > >
> > > [mm]\gdw ({d_{1}}^2-{b_{1}}^2)(c_{1}-a_{1})^2+({d_{2}}^2-{b_{2}}^2)(c_{2}-a_{2})^2+({d_{3}}^2-{b_{3}}^2)(c_{3}-a_{3})^2=0[/mm]
>
> >
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> > > wie komm ich nun aber hier nur weiter?
> >
> > Nee, dies ist viel zu mühsam. Mach besser folgendes: seien
> > [mm]\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}[/mm] und [mm]\vec{d}[/mm] die Ortsvektoren der
> > Eckpunkte des Vierecks [mm]ABCD[/mm]. Dann sind die Ortsvektoren der
> > Seitenmitten [mm]M_{a,b,c,d}[/mm] gleich
> > [mm]\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})[/mm], [mm]\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})[/mm],
> > [mm]\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})[/mm] und
> > [mm]\frac{1}{2}(\vec{d}+\vec{a})[/mm].
>
> ist das richtig? Ist der Ortsvektor nicht
> [mm]\bruch{1}{2}(\vec{a}+\overrightarrow{AB})[/mm] statt
> [mm]\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})[/mm]
Der Ortsvektor wovon? Also dies musst Du wissen: dass der Ortsvektor des Mittelpunktes einer Strecke gleich dem Mittelwert der Ortsvektoren ihrer Endpunkte ist. Wenn wir vereinbaren, dass [mm] $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ [/mm] und [mm] $\vec{d}$ [/mm] die Ortsvektoren der Eckpunkte des Vierecks $ABCD$ sind, dann gelten meine obigen Behauptungen für die Ortsvektoren der Seitenmittelpunkte [mm] $M_{a,b,c,d}$. [/mm] Es ist also z.B. [mm] $\vec{OM_a}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$ [/mm] usw. Damit erhält man einerseits
[mm]\vec{M_aM}_b=\tfrac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})-\tfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})=-\tfrac{1}{2}\vec{a}+\tfrac{1}{2}\vec{c}[/mm]
und andererseits
[mm]\vec{M_dM}_c=\tfrac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})-\tfrac{1}{2}(\vec{d}+\vec{a})=-\tfrac{1}{2}\vec{a}+\tfrac{1}{2}\vec{c}[/mm]
also ist [mm] $\vec{M_aM}_b=\vec{M_dM}_c$ [/mm] und daher [mm] $M_aM_bM_cM_d$ [/mm] ein Parallelogramm.
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> > > > oh natürlich, du hast recht mit [mm]\Rightarrow[/mm] und nicht [mm]\gdw[/mm]
> > > > klar! ich bin da selbst sonst auch sehr pingelig!
> > > >
> > > > Nun zur Vekotrmöglichkeit...
> > > >
> > > > Wenn ich zeige, dass gegenüberliegende Seiten gleich lang
> > > > sind, komm ich auf folgenden Ausdruck:
> > > >
> > > > [mm]\overline{M_{ad}M_{cd}}=\overline{M_{ab}M_{bc}}[/mm]
> > > > [mm]\gdw \bruch{1}{2}\wurzel{{d_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{d_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{d_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2}= \bruch{1}{2}\wurzel{{b_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{b_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{b_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2}[/mm]
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> > > > [mm]\gdw {d_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{d_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{d_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2= {b_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{b_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{b_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2[/mm]
> > > > ich kanns zwar noch zusammenfassen.....
> > > >
> > > > [mm]\gdw ({d_{1}}^2-{b_{1}}^2)(c_{1}-a_{1})^2+({d_{2}}^2-{b_{2}}^2)(c_{2}-a_{2})^2+({d_{3}}^2-{b_{3}}^2)(c_{3}-a_{3})^2=0[/mm]
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> > >
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> > > > wie komm ich nun aber hier nur weiter?
> > >
> > > Nee, dies ist viel zu mühsam. Mach besser folgendes: seien
> > > [mm]\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}[/mm] und [mm]\vec{d}[/mm] die Ortsvektoren der
> > > Eckpunkte des Vierecks [mm]ABCD[/mm]. Dann sind die Ortsvektoren der
> > > Seitenmitten [mm]M_{a,b,c,d}[/mm] gleich
> > > [mm]\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})[/mm], [mm]\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})[/mm],
> > > [mm]\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})[/mm] und
> > > [mm]\frac{1}{2}(\vec{d}+\vec{a})[/mm].
> >
> > ist das richtig? Ist der Ortsvektor nicht
> > [mm]\bruch{1}{2}(\vec{a}+\overrightarrow{AB})[/mm] statt
> > [mm]\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})[/mm]
oh entschuldige bitte, ich meinte dass er ortsvektor der Seitenmitte [mm] M_{ab} [/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\vec{a}+\overrightarrow{AB} [/mm] ist....
Ist das dann dasselbe wie [mm] \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}) [/mm] ?
Entschuldige bitte mein Nerven^^
Liebe Grüße
Andreas
> Der Ortsvektor wovon? Also dies musst Du wissen: dass der
> Ortsvektor des Mittelpunktes einer Strecke gleich dem
> Mittelwert der Ortsvektoren ihrer Endpunkte ist. Wenn wir
> vereinbaren, dass [mm]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/mm] und [mm]\vec{d}[/mm] die
> Ortsvektoren der Eckpunkte des Vierecks [mm]ABCD[/mm] sind, dann
> gelten meine obigen Behauptungen für die Ortsvektoren der
> Seitenmittelpunkte [mm]M_{a,b,c,d}[/mm]. Es ist also z.B.
> [mm]\vec{OM_a}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})[/mm] usw. Damit erhält
> man einerseits
>
> [mm]\vec{M_aM}_b=\tfrac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})-\tfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})=-\tfrac{1}{2}\vec{a}+\tfrac{1}{2}\vec{c}[/mm]
> und andererseits
>
> [mm]\vec{M_dM}_c=\tfrac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})-\tfrac{1}{2}(\vec{d}+\vec{a})=-\tfrac{1}{2}\vec{a}+\tfrac{1}{2}\vec{c}[/mm]
> also ist [mm]\vec{M_aM}_b=\vec{M_dM}_c[/mm] und daher [mm]M_aM_bM_cM_d[/mm]
> ein Parallelogramm.
>
ok super
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Somebody |
> > > > > oh natürlich, du hast recht mit [mm]\Rightarrow[/mm] und nicht [mm]\gdw[/mm]
> > > > > klar! ich bin da selbst sonst auch sehr pingelig!
> > > > >
> > > > > Nun zur Vekotrmöglichkeit...
> > > > >
> > > > > Wenn ich zeige, dass gegenüberliegende Seiten gleich lang
> > > > > sind, komm ich auf folgenden Ausdruck:
> > > > >
> > > > > [mm]\overline{M_{ad}M_{cd}}=\overline{M_{ab}M_{bc}}[/mm]
> > > > > [mm]\gdw \bruch{1}{2}\wurzel{{d_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{d_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{d_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2}= \bruch{1}{2}\wurzel{{b_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{b_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{b_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2}[/mm]
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> > > > > [mm]\gdw {d_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{d_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{d_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2= {b_{1}}^2(c_{1}-a_{1})^2+{b_{2}}^2(c_{2}-a_{2})^2+{b_{3}}^2(c_{3}-a_{3})^2[/mm]
> > > > > ich kanns zwar noch zusammenfassen.....
> > > > >
> > > > > [mm]\gdw ({d_{1}}^2-{b_{1}}^2)(c_{1}-a_{1})^2+({d_{2}}^2-{b_{2}}^2)(c_{2}-a_{2})^2+({d_{3}}^2-{b_{3}}^2)(c_{3}-a_{3})^2=0[/mm]
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> > > >
> > > >
> > > > > wie komm ich nun aber hier nur weiter?
> > > >
> > > > Nee, dies ist viel zu mühsam. Mach besser folgendes: seien
> > > > [mm]\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}[/mm] und [mm]\vec{d}[/mm] die Ortsvektoren der
> > > > Eckpunkte des Vierecks [mm]ABCD[/mm]. Dann sind die Ortsvektoren der
> > > > Seitenmitten [mm]M_{a,b,c,d}[/mm] gleich
> > > > [mm]\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})[/mm], [mm]\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})[/mm],
> > > > [mm]\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})[/mm] und
> > > > [mm]\frac{1}{2}(\vec{d}+\vec{a})[/mm].
> > >
> > > ist das richtig? Ist der Ortsvektor nicht
> > > [mm]\bruch{1}{2}(\vec{a}+\overrightarrow{AB})[/mm] statt
> > > [mm]\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})[/mm]
>
>
> oh entschuldige bitte, ich meinte dass er ortsvektor der
> Seitenmitte [mm]M_{ab} \bruch{1}{2}\vec{a}+\overrightarrow{AB}[/mm]
> ist....
>
> Ist das dann dasselbe wie [mm]\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}?[/mm]
>
> Entschuldige bitte mein Nerven^^
Du möchtest vielleicht lieber so argumentieren:
[mm]\vec{OM}_a=\vec{OA}+\tfrac{1}{2}\vec{AB}=\vec{OA}+\tfrac{1}{2}(\vec{OB}-\vec{OA})=\tfrac{1}{2}(\vec{OA}+\vec{OB})[/mm]
letzteres ist aber, wegen meiner abkürzenden Schreibweise [mm] $\vec{a}:=\vec{OA}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}:=\vec{OB}$, [/mm] dasselbe wie meine Behauptung [mm] $\vec{OM}_a=\tfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$.
[/mm]
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super danke..!!!
letzteres wollte ich wissen!
Liebeste grüße und danke für die geduld
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Somebody |
> ich dank dir!
>
> ich rechne beide ansätze mal durch, mal sehen wie weit ich
> komme^^
>
> Die Vektorrechnung hatte ich schon im Kopf..
>
> gilt das mit den Dreiecken für ein ganz beleibiges
> Dreieck?
> und meinst du, dass ich zeigen soll, dass jeweils 2 seiten
> des mittenvierecks parallel sind zu einer diagonalen des
> Vierecks ?
Betrachte folgende Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wegen der erwähnten Eigenschaft der Verbindungslinie zweier Seitenmitten eines Dreiecks, kannst Du, angewandt auf die beiden Dreiecke ABC und ACD, zeigen, dass die beiden Strecken [mm] $M_aM_b$ [/mm] und $M_dMc$ beide parallel sind zur Diagonalen $AC$ des Vierecks ABCD: also sind sie auch untereinander parallel (Transitivität des "Parallelseins" von Geraden).
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Aus der Zeichnung geht hervor:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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hallo,
wieso geht das aus der zeichnung hervor?
LG
Andreas
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hallo,
wieso geht das aus der zeichnung hervor? Wo kommt die erste Gleichung her?
Liebe Grüße
Andreas
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> hallo,
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> wieso geht das aus der zeichnung hervor? Wo kommt die erste
> Gleichung her?
Hallo,
wenn Du von der Stelle, an der die "Füße" von [mm] \vec{a} und\vec{c} [/mm] zusammenstoßen, zuerst zweimal den Pfeil [mm] \vec{a} [/mm] aneinanderlegst, und daran zweimal den Pfeil [mm] \vec{b}, [/mm] landest Du beim selben Punkt als hättest Du zweimal den Pfeil [mm] \vec{c} [/mm] und daran zweimal den Pfeil [mm] \vec{d} [/mm] gelegt. Beide Wege ersetzen den Pfeil "quer durchs Viereck". (Vektoraddition).
Gruß v. Angela
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Angela hat es ja schon erklärt. Ich sage es noch mal mit meinen Worten:
Wenn du von A nach C gehst, dann ist es egal, ob du den Weg über X,B und Y wählst oder den Weg über W, D und Z.
Also ist das gleich (daher die erste Gleichung).
Wenn du diese Gleichung (auf der linken und rechten Seite) durch 2 dividierst, dann erhältst du den Weg von X über B nach Y bzw. von W über D nach Z.
Beide Wege sind gleich lang und haben die gleiche Richtung.
Genau dasselbe kannst du nun machen, indem du von B nach D wanderst; einmal links rum und das andere Mal rechts rum. Auch das ist das Gleiche, und deshalb ergeben sich auch hier entsprechende Gleichungen.
Und da die sich gegenüberliegenden Strecken (XY und WZ / bzw. XW und YZ) jeweils gleiche Richtung und Länge haben, ergibt sich das Parallelogramm.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hallo!
ich danke euch vielmals jetzt ist alles klar!
LG
Andreas
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