Modell für eine Formelmenge < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 So 04.01.2009 | | Autor: | Klemme |
| Aufgabe | Wir betrachten eine Signatur mit einem zweistelligen Funktionssymbol f und einem zweistelligen Prädikatensymbol R. Geben Sie ein unendliches Modell für die folgende Formelmenge X an:
X = { [mm] \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y [mm] \forall [/mm] z (R(x,y) [mm] \wedge [/mm] R(y,z) [mm] \to [/mm] R(x,z)), [mm] \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y R(x,y), [mm] \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y [mm] \forall [/mm] z(R(x,y) [mm] \to [/mm] R(f(x,z),f(y,z)))}
Konsruieren Sie für X auch ein endliches Modell. |
Hallo, ich würde nur gerne wissen, ob folgende Überlegungen richtig sind:
Um diese Formeln besser zu verstehen, habe ich mir ein Beispiel ausgedacht: Ich setze x = Max, y = Mensch, z = Lebewesen und die Funktion f weist die Eigenschaft denken zu.
Dann habe ich die einzelnen Formeln erst mal nummeriert:
1. [mm] \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y [mm] \forall [/mm] z (R(x,y) [mm] \wedge [/mm] R(y,z) [mm] \to [/mm] R(x,z))
2. [mm] \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y R(x,y)
3. [mm] \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y [mm] \forall [/mm] z(R(x,y) [mm] \to [/mm] R(f(x,z)
4. f(y,z)
Daraus folgende Bedeutung (für mein Beispiel):
1. Max ist ein Mensch und als Mensch ist er ein Lebewesen, das impliziert Max ist ein Lebewesen
2. Es existiert mindestens ein Max, für alle Menschen gilt: Max ist ein Mensch
3. Wenn Max ein Mensch ist, dann ist Max ein denkendes Lebewesen
4.) Menschen sind denkende Lebewesen
Wenn ich jetzt eine unendliche Modellmenge entwerfe, könnte diese so aussehen:
Für alle Menschen gilt, dass sie denkende Lebewesen sind, d.h. formell:
[mm] \forall [/mm] y: f(y,z)
und eine endliche Modellmenge so:
Max ist ein Mensch, d.h. formell:
R(x,y)
Es wäre nett wenn sich das jemand anschaut und falls es falsch ist, einen Tipp in die richtige Richtung gibt.
Danke schon mal.
mfG
Klemme
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 So 04.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
Ich glaube du bringst da etwas sehr stark durcheinander.
Also erstmal sind es nur drei Formeln in X, nämlich: [mm] $$\forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y [mm] \forall [/mm] z (R(x,y) [mm] \wedge [/mm] R(y,z) [mm] \to [/mm] R(x,z))$$ [mm] $$\exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y R(x,y)$$ [mm] $$\forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y [mm] \forall [/mm] z(R(x,y) [mm] \to [/mm] R(f(x,z),f(y,z)))$$
Wenn du jetzt ein Modell aufstellen willst, dann musst du dir drei Sachen überlegen: Die Grundmenge, die Funktion f und die Relation R. Dabei musst du natürlich aufpassen, dass die drei Axiome erfüllt sind.
Eine Relation ist etwas, das entweder wahr oder falsch ist, wenn du genügend Elemente der Grundmenge reinwirfst. In unserem Falle sind das zwei Elemente, da R zwei-stellig ist.
Eine Funktion ist etwas, das dir ein Element der Grundmenge zurückgibt, wenn du genügend Elemente der Grundmenge reinwirfst. Hier müssen wir wieder zwei Elemente reinwerfen, da auch f zwei-stellig ist.
Du musst also erstmal immer erst eine Grundmenge angeben (z.B. "alle Menschen" oder "Max" oder "alle Lebewesen").
> Max ist ein Mensch, d.h. formal: R(x,y).
In eine Relation musst du alle Elemente der Grundmenge reinwerfen können.
Wenn du das also so schreiben willst, dann muss in der Grundmenge also schonmal das Element "Max" und das Element "Mensch" sein. Ausserdem musst du aufpassen, dass du alles aus der Grundmenge in die Relation reinpacken kannst, und das auch noch in beliebiger Reihenfolge, und dem Ganzen muss dann entweder "wahr" oder "falsch" zugeordnet werden.
Du hast schonmal definiert, dass R(Max,Mensch) wahr ist. Was ist R(Mensch,Max)? Wahr oder Falsch? Das musst du auch definieren.
Ausserdem hast du noch deine Funktion f. Du musst also auch wissen welches Element bei f(Max,Mensch) rauskommt. Und welches bei f(Mensch,Max) rauskommt.
Und zu allem Überfluss musst du auch noch schauen, dass die drei Axiome erfüllt sind.
Anmerkung: Ein endliches Modell ist eins, dessen Grundmenge endlich ist. Ein unendliches eins, dessen Grundmenge unendlich ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:26 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Klemme |
> Ich glaube du bringst da etwas sehr stark durcheinander.
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> Also erstmal sind es nur drei Formeln in X, nämlich:
> [mm]\forall x \forall y \forall z (R(x,y) \wedge R(y,z) \to R(x,z))[/mm]
> [mm]\exists x \forall y R(x,y)[/mm] [mm]\forall x \forall y \forall z(R(x,y) \to R(f(x,z),f(y,z)))[/mm]
>
> Wenn du jetzt ein Modell aufstellen willst, dann musst du
> dir drei Sachen überlegen: Die Grundmenge, die Funktion f
> und die Relation R. Dabei musst du natürlich aufpassen,
> dass die drei Axiome erfüllt sind.
Ok. So ist das Beispiel natürlich nicht so gut gewählt, weil es schwer ist dann eine Funktion zu definieren.
Die Grundmenge ist x,y,z
Wenn ich jetzt z. B: Zahlen nehme könnte die Funktion eine Addition definieren. Ich sage z.B. x={1,...,5}, {6,...,10}, z ={11,...,15}
R könnte dann bedeuten: [mm] \le
[/mm]
und die Funktion könnte ich als Addition definieren
Überprüfen der Axiome:
1.) [mm] \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y [mm] \forall [/mm] z (R(x,y) [mm] \wedge [/mm] R(y,z) [mm] \to [/mm] R(x,z))
ja denn x ist immer kleiner y und y ist kleiner z, damit ist auch x kleiner z
2.) [mm] \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y R(x,y)
ja denn alle x sind kleiner z
3.) [mm] \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y [mm] \forall [/mm] z(R(x,y) [mm] \to [/mm] R(f(x,z),f(y,z)))
Ja, denn x ist kleiner als y, somit ist die Summe von x und z auch kleiner als die Summe von y und z
Somit stimmen die Axiome. Wenn ich jetzt aber ein unendliches Modell aufstellen wollte, könnte ich doch x,y, und z als die Natürlichen Zahlen definieren. Oder dürfen die drei nicht die gleiche Definition haben?
Ich bin mir auch nicht sicher wie jetzt formal so ein Modell aussehen sollte. Definiere ich da nur eine Grundmenge und schreibe für diese dann für alle Axiome die Wahrheitswerte auf?
Danke auch für die schnelle Antwort. Ich hoffe ich habe das Problem jetzt richtig verstanden und bekomme noch einen kleinen Schubs in die richtige Richtung.
LG Klemme
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Die Grundmenge ist x,y,z
Also hast du drei Elemente in deiner Grundmenge.
> Wenn ich jetzt z. B: Zahlen nehme könnte die Funktion eine
> Addition definieren. Ich sage z.B. x={1,...,5}, y={6,...,10},
> z ={11,...,15}
Hier legst du fest, dass diese drei Elemente in deiner Grundmenge Mengen von natürlichen Zahlen sind.
Also muss deine Funktion zwei der Mengen als Eingabe kriegen und diese auf eine der Mengen abbilden, d.h. f als Addition funktioniert hier nicht (da du ja sonst Mengen addieren müsstest).
> R könnte dann bedeuten: [mm]\le[/mm]
Hier wieder dasselbe.
Wenn du f als Addition und R als [mm] \le [/mm] festlegen willst, dann musst du als Grundmenge Zahlen haben. Hier hast du aber als Grundmenge Mengen von Zahlen definiert.
> Ich bin mir auch nicht sicher wie jetzt formal so ein
> Modell aussehen sollte. Definiere ich da nur eine
> Grundmenge und schreibe für diese dann für alle Axiome die
> Wahrheitswerte auf?
Ein Modell ist formal ein Tripel [mm](D, I_0, I_1)[/mm].
D ist die Grundmenge.
[mm] I_0 [/mm] sagt dir, wie die Funktionssymbole der Sprache zu interpretieren sind.
[mm] I_1 [/mm] sagt dir, wie die Relationssymbole der Sprache zu interpretieren sind.
In der Sprache in dieser Aufgabe hast du ein zwei-stelliges Funktionssymbol ("f") und ein zwei-stelliges Relationssymbol ("R").
Angenommen, wir hätten nur das Axiom [mm]\forall x \exists y R(x,y)[/mm].
Ein mögliches Modell wären z.B.:
Als Grundmenge die reellen Zahlen.
Als Funktionssymbol f die Multiplikation.
Als Relationssymbol R das " [mm] \le [/mm] ".
Ein anderes mögliches Modell wäre:
Als Grundmenge [mm]\{1,2\}[/mm].
Als Funktionssymbol f die Abbildung [mm](x,y) \mapsto x[/mm].
Als Relationssymbol R die Relation [mm]\{(1,1),(2,2)\}[/mm].
Beide Modelle erfüllen das Axiom. Da in dem Axiom das Funktionssymbol f nicht vorkommt, ist es total egal was wir dafür definieren.
Ich hoffe das Beispiel war aufschlussreich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Klemme |
Ok. Danke erst mal. Das hat auf jeden Fall weitergeholfen. Aber für das unendliche Modell muss ich erst mal noch über eine passende Funktion nachdenken,
LG
Klemme
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