Modellieren (quadr. Fkt) < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Mit 120m Zaun soll eine rechteckige Weidefläche für die Ziege Alma abgezäunt werden. In welchem Abstand von der Mauer müssen die Pfosten eingeschlagen werden, wenn die Weidefläche möglichst groß sein soll? Welche Weidefläche steht Alma dann zur Verfügung? |
durch ausprobieren komme ich auf die optimale Lösung von 30m Abstand von der Mauer. Dadurch sind die beiden Pfosten 60m voneinander entfernt:
A = [mm] 60m^2 \cdot 30m^2 [/mm] = [mm] 1800m^2
[/mm]
Die Frage die sich mir nun stellt: In der Überschrift steht "Modellieren mit quadratischen Funktionen". Was genau soll mir die Aufgabe in der Hinsicht zeigen? (Wurde vom Lehrer ohne weitere Anmerkung als Hausaufgabe gegeben)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 Fr 31.01.2014 | | Autor: | moody |
Hallo,
> Die Frage die sich mir nun stellt: In der Überschrift
> steht "Modellieren mit quadratischen Funktionen". Was genau
> soll mir die Aufgabe in der Hinsicht zeigen? (Wurde vom
> Lehrer ohne weitere Anmerkung als Hausaufgabe gegeben)
Rumprobieren ist eine mögliche Lösung, die andere ist folgende Idee.
Du hast eine gewisse Menge Material, nämlich $120m$ Zaun. Überlege dir welche Bedingung du für dein Rechteck damit erhälst. Betrachte hierbei den Umfang. Dieser ist (ich nehme mal an die Mauer ist auf jeden Fall lang genug) abhängig vom Abstand deiner Pfosten, ich nenne diese mal $a$.
$U(a)=?$
Desweiteren hast du deine Zielfunktion, nämlich die Fläche, die dir dein Rechteck liefert. Ebenfalls abhängig von $a$.
$A=?$
Stelle die beiden Gleichungen auf, und durch einsetzen und Umformen erhälst du eine quadratische Gleichung (Fläche in Abhängig vom Abstand der Pfosten). Damit kannst du dein $a$ ausrechnen, bei der A maximal wird.
edit: in deinem Post muss es übrigens $60m*30m$ lauten, nicht [mm] $m^2$
[/mm]
lg moody
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U => 120=2a+b [mm] \gdw [/mm] b=120-2a
A= a [mm] \cdot [/mm] b
A= a [mm] \cdot [/mm] (120-2a)
A= [mm] 120a-2a^2 \gdw [/mm] A= [mm] a^2-60a
[/mm]
durch quadratische Ergänzung erhalte ich dann a=60, was ja nicht korrekt ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:12 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> U => 120=2a+b [mm]\gdw[/mm] b=120-2a
>
> A= a [mm]\cdot[/mm] b
>
> A= a [mm]\cdot[/mm] (120-2a)
Bis hierher richtig.
> A= [mm]120a-2a^2 \gdw[/mm] A= [mm]a^2-60a[/mm]
Das ist natürlich falsch.
Du kannst nicht auf der rechten Seite der Gleichung durch -2 dividieren, die linke Seite der Gleichung unangetastet lassen und dann ein [mm] \gdw [/mm] zwischen die beiden Gleichungen hauen.
(Du übernimmst hier eine Vorgehensweise, die beim Lösen von quadratischen Gleichungen angewandt wird, namlich dass die z.B. die Gleichung [mm] -2x^2+8x-6=0 [/mm] zunächst zu [mm] x^2-4x+3=0 [/mm] umgeformt wird, aber beachte dass [mm] \bruch{0}{-2}=0 [/mm] ist, aber sicherlich [mm] \bruch{A}{-2}\not=A [/mm] gilt.)
>
> durch quadratische Ergänzung erhalte ich dann a=60, was ja
> nicht korrekt ist.
Die Idee mit der quadratischen ergänzung ist gut, sie führt dich auf Folgendes :
[mm] A=120a-2a^2=(-2)*(a^2-60a)=(-2)*(a^2-60a+900-900)=(-2)*(a^2-60a+900)+1800=(-2)*(a-30)^2+1800 [/mm] woraus du den Scheitelpunkt (30|1800) der Parabel A(a) ablesen kannst und somit die optimale Lösung a=3 und A=1800 erhälst.
Gruß Sax.
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Hallo,
> U => 120=2a+b [mm]\gdw[/mm] b=120-2a
>
> A= a [mm]\cdot[/mm] b
>
> A= a [mm]\cdot[/mm] (120-2a)
> A= [mm]120a-2a^2 \gdw[/mm] A= [mm]a^2-60a[/mm]
Man sucht ja den Scheitelpunkt von [mm] A=-2a^2+120a.
[/mm]
Ich möchte hier mal anders argumentieren - also ohne quadratische Ergänzung.
Es ist A=-2a(a-60). Und damit haben wir zwei Nullstellen: Eine bei [mm] a_1=0 [/mm] und die zweite bei [mm] a_2=60.
[/mm]
Nun wissen wir, dass die quadratische Funktion achsensymmetrisch ist. Daher muss also der Scheitelpunkt bei S(30,A(30)) liegen.
Hier sieht man einmal eine Anwendung von Symmetrieeigenschaften. Quadratische Ergänzung ist hier eventll. gefährlich, weil man sich verrechnen kann.
Liebe Grüße
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> durch quadratische Ergänzung erhalte ich dann a=60, was ja
> nicht korrekt ist.
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