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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Di 28.06.2005 | | Autor: | Ramco |
Hallo leute,
Wie gehts euch?
Ich brauche bei einer Aufgabe eure Hilfe, ich komme irgentwie nicht weiter obwohl die aufgabenstellung hier eigentlich klar ist könnt ihr mir da irgentwie weiter helfen??
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mal rüberschauen könnt!!
Die aufgabe lautet:
Sei für einen Modul M über dem Integrtitätsring R
T( M ) := [mm] \{m \in M: xm=0 für ein x \in R, x \not=0 \}
[/mm]
der Torsionsuntermodul von M. Man zeige:
1) T(M) ist ein Untermodul von M.
2) M/T(M) ist torsionsfrei, d.h. T( M/T(M))=0
3) Ist R ein Hauptidealring und M ein endlich erzeugter R-Modul,so ist
M [mm] \cong [/mm] T(M) [mm] \oplus [/mm] M/T(M).
ich werde noch bei der aufgabe weiter kämpfen und warte gleichzeitig auf eure Antwort
danke im Vorraus!
tschüss
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Hallo!
Also, Teil 1 (den Einfachen *hüstel*) beweise ich mal - den Rest überlasse ich Dir.  Ich gehe mal davon aus, dass $R$ kommutativ ist, da Du ja auch nicht von einem Links- oder Rechtsmodul gesprochen hast. 
Also, dass $0 [mm] \in [/mm] T(M)$ gilt ist klar.
Sei $m [mm] \in [/mm] T(M)$ und $y [mm] \in [/mm] R$ beliebig. Zu zeigen ist: $ym [mm] \in [/mm] T(M)$. Hier argumentiert man wie folgt: da $m [mm] \in [/mm] T(M)$ gibt es ein $x [mm] \in [/mm] R$, $x [mm] \not= [/mm] 0$ mit $xm = 0$. Dann aber folgt $0 = y [mm] \cdot [/mm] 0 = yxm = x(ym)$. Also ist $ym [mm] \in [/mm] T(M)$.
Zu guter Letzt: seien $m, n [mm] \in [/mm] T(M)$. Dann gibt es $x,y [mm] \in [/mm] R$, $x,y [mm] \not= [/mm] 0$ mit $xm = 0$ und $yn = 0$. Da $R$ ein Integritätsbereich ist, gilt auch $xy [mm] \not= [/mm] 0$.
Es folgt: $xy(m + n) = xym + xyn = y(xm) + x(yn) = 0 + 0 = 0$, also gilt $m + n [mm] \in [/mm] T(M)$.
Zum zweiten Aufgabenteil: das ist etwas schwerer. Hier musst Du zeigen, dass für ein $m + T(M) [mm] \in [/mm] T(M / T(M))$ schon gilt: $m + T(M)= T(M)$, also $m [mm] \in [/mm] T(M)$.
Beim letzten Teil würde ich eine kurze exakte Sequenz bemühen, denke ich... welche ist klar.
Lars
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