Modul Untermodul < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei R ein Ring. Sei M ein R-Modulvom Rang n und M' ein Untermodul vom selben Rang.
Warum sind M und M' dann nicht gleich? |
Hallo,
ich kann mir die Situation gerade noch nicht so richtig vorstellen. Es gilt doch, dass [mm] M'\subset [/mm] M und M' ist als Untermodul insbesondere ein Modul. Müssten die dann nicht identisch sein?
Was ist überhaupt [R:I], wenn R ein Ring ist und I ein [mm] Ideal\neq0 [/mm] bzw. was ist [M:M']? Bei Körpererweiterungen war das für [L:K] die Länge einer K- Basis von L. Wie sieht das dann bei Ringen (Gruppen) aus?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Mi 12.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei R ein Ring. Sei M ein R-Modulvom Rang n und M' ein
> Untermodul vom selben Rang.
>
> Warum sind M und M' dann nicht gleich?
> Hallo,
>
> ich kann mir die Situation gerade noch nicht so richtig
> vorstellen. Es gilt doch, dass [mm]M'\subset[/mm] M und M' ist als
> Untermodul insbesondere ein Modul. Müssten die dann nicht
> identisch sein?
Bei Vektorraeumen schon. Bei Moduln eben nicht.
Das einfachste Beispiel ist $M = R = [mm] \IZ$ [/mm] und $M' = 2 [mm] \IZ$.
[/mm]
Der Unterschied zum Vektorraum liegt hier, dass du nicht durch 2 teilen kannst.
> Was ist überhaupt [R:I], wenn R ein Ring ist und I ein
> [mm]Ideal\neq0[/mm] bzw. was ist [M:M']?
Das ist normalerweise der Index von $I$ in $R$ bzw von $M'$ in $M$, also die Anzahl der Linksnebenklassen von $I$ in $R$ bzw. $M'$ in $M$, also die Anzahl der Elemente von $R/I$ bzw. $M/M'$.
> Bei Körpererweiterungen
> war das für [L:K] die Länge einer K- Basis von L. Wie
> sieht das dann bei Ringen (Gruppen) aus?
Bei Moduln und Gruppen ist es normalerweise die Kardinalitaet des Quotienten (wie oben). Da ein Ring ein Modul ist und ein Ideal ein Untermodul, kann man bei Ringen genauso vorgehen wie bei Moduln und Gruppen.
LG Felix
|
|
|
|
