Modul von \IZ < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Mi 20.04.2016 | | Autor: | HannSG |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Menge der Linearkombinationen M={ax + by | x,y [mm] \in \IZ} [/mm] für beliebige a,b [mm] \in \IZ [/mm] ein Modul ist. |
Leider finde ich für die Aufgabe keinen Ansatz. Ich weiß gar nicht genau, wann eine Menge ein Modul von [mm] \IZ [/mm] ist. Ich dachte eigentlich man müsste zeigen, dass ax + by immer eine Zahl aus [mm] \IZ [/mm] liefert, aber das wäre ja zu trivial, da a,b,x,y ja aus [mm] \IZ [/mm] stammen.
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte. Viele Dank.
Lg HannSG
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> Zeigen Sie, dass die Menge der Linearkombinationen
> $\ M\ =\ [mm] \{ ax + by\ |\ x,y \in \IZ\ \}$ [/mm]
> für beliebige a,b [mm]\in \IZ[/mm] ein Modul ist.
> Leider finde ich für die Aufgabe keinen Ansatz. Ich weiß
> gar nicht genau, wann eine Menge ein Modul von [mm]\IZ[/mm] ist. Ich
> dachte eigentlich man müsste zeigen, dass ax + by immer
> eine Zahl aus [mm]\IZ[/mm] liefert, aber das wäre ja zu trivial, da
> a,b,x,y ja aus [mm]\IZ[/mm] stammen.
> Es wäre sehr nett, wenn mir jemand einen Tipp geben
> könnte. Vielen Dank.
> Lg HannSG
Hallo,
ich würde dir einfach empfehlen, die Aussage mittels der Axiome
für einen Modul (über einem kommutativen Ring mit Eins) zu
überprüfen:
![[]](/images/popup.gif) Modul: Definition
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Mi 20.04.2016 | | Autor: | HannSG |
Hallo Al-Chwarizmi,
danke für den Link ich werde mir das mal ansehen.
LG HannSG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Mi 20.04.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo HannSG!
> > Zeigen Sie, dass die Menge der Linearkombinationen
>
> > [mm]\ M\ =\ \{ ax + by\ |\ x,y \in \IZ\ \}[/mm]
>
> > für beliebige a,b [mm]\in \IZ[/mm] ein Modul ist.
>
> > Leider finde ich für die Aufgabe keinen Ansatz.
Zumindest einen naheliegenden hat dir Al-Chwarizmi ja bereits genannt.
> > Ich weiß
> > gar nicht genau, wann eine Menge ein Modul von [mm]\IZ[/mm] ist.
Das solltest du natürlich erst einmal klären, indem du die Definition eines Moduls über einem kommutativen Ring mit Eins nachschlägst. Das kannst du mithilfe Al-Chwarizmis Link tun oder indem du in deinen Vorlesungsmitschriften nachschlägst. (Ich bevorzuge letztgenannten Vorschlag, da du dich ohnehin mit den Vorlesungsmitschriften auseinandersetzen solltest.)
Du wirst sehen, dass man für einen [mm] $\IZ$-Modul [/mm] neben einer Menge M noch eine Addition auf M und eine Multiplikation von Werten aus $M$ mit Elementen von [mm] $\IZ$ [/mm] benötigt.
> > Ich
> > dachte eigentlich man müsste zeigen, dass ax + by immer
> > eine Zahl aus [mm]\IZ[/mm] liefert, aber das wäre ja zu trivial, da
> > a,b,x,y ja aus [mm]\IZ[/mm] stammen.
Ja, es gilt [mm] $M\subseteq\IZ$.
[/mm]
Ist bereits bekannt, dass [mm] $\IZ$ [/mm] einen [mm] $\IZ$-Modul [/mm] darstellt, wenn man die gewöhnliche Addition und Multiplikation ganzer Zahlen verwendet?
Ist das Konzept eines Untermoduls besprochen worden? Dann genügt es zu zeigen, dass $M$ ein Untermodul vom [mm] $\IZ$-Modul $\IZ$ [/mm] darstellt, denn Untermoduln bilden selbst wieder Moduln.
Bei diesem Vorgehen sind nur die wenigen Untermodul-Eigenschaften zu prüfen und nicht sämtliche Modul-Axiome.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mi 20.04.2016 | | Autor: | HannSG |
Hallo Tobias,
danke für die schnelle Rückmeldung.
> > > Ich weiß
> > > gar nicht genau, wann eine Menge ein Modul von [mm]\IZ[/mm] ist.
> Das solltest du natürlich erst einmal klären, indem du
> die Definition eines Moduls über einem kommutativen Ring
> mit Eins nachschlägst. Das kannst du mithilfe
> Al-Chwarizmis Link tun oder indem du in deinen
> Vorlesungsmitschriften nachschlägst. (Ich bevorzuge
> letztgenannten Vorschlag, da du dich ohnehin mit den
> Vorlesungsmitschriften auseinandersetzen solltest.)
Leider haben wir noch nicht sehr viel zu dem Thema gemacht. Wir haben lediglich eine Definition eines Moduls notiert und den folgenden Satz: Jeder Modul [mm] M\not=\{0\} [/mm] besteht aus dem ganzzahligen Vielfachen seiner kleinsten Zahl.
Die Definition lautet: Eine Gruppe von [mm] (\IZ, [/mm] +) heißt ein Modul. [mm] M\subseteq\IZ
[/mm]
(M, +) Modul: a,b [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] a-b [mm] \in [/mm] M.
Darüber hinaus haben wir nur noch einige Beispiele, wie den Nullmodul, behandelt.
>
> Du wirst sehen, dass man für einen [mm]\IZ[/mm]-Modul neben einer
> Menge M noch eine Addition auf M und eine Multiplikation
> von Werten aus [mm]M[/mm] mit Elementen von [mm]\IZ[/mm] benötigt.
>
>
> > > Ich
> > > dachte eigentlich man müsste zeigen, dass ax + by immer
> > > eine Zahl aus [mm]\IZ[/mm] liefert, aber das wäre ja zu trivial, da
> > > a,b,x,y ja aus [mm]\IZ[/mm] stammen.
> Ja, es gilt [mm]M\subseteq\IZ[/mm].
>
> Ist bereits bekannt, dass [mm]\IZ[/mm] einen [mm]\IZ[/mm]-Modul darstellt,
> wenn man die gewöhnliche Addition und Multiplikation
> ganzer Zahlen verwendet?
Nein das haben wir nicht behandelt. Erscheint mir aber logisch.
> Ist das Konzept eines Untermoduls besprochen worden? Dann
> genügt es zu zeigen, dass [mm]M[/mm] ein Untermodul vom [mm]\IZ[/mm]-Modul
> [mm]\IZ[/mm] darstellt, denn Untermoduln bilden selbst wieder
> Moduln.
>
> Bei diesem Vorgehen sind nur die wenigen
> Untermodul-Eigenschaften zu prüfen und nicht sämtliche
> Modul-Axiome.
>
Nein das haben wir bis jetzt auch nicht behandelt.
>
> Viele Grüße
> Tobias
Also ich habe mir jetzt nochmal den Link angesehen und auch in alten Unterlagen nachgesehen, aber so richtig verstehe ich das mit dem kommutativen Ring nicht. Muss ich überprüfen, ob (M, +) eine kommutative Gruppe, (M, *) eine kommutative Halbgruppe ist und für + und * das Distributivgesetz gilt? Aber was hat das dann damit zutun, dass M ein Modul von [mm] \IZ [/mm] ist?
Danke für die Hilfe.
Lg HannSG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Do 21.04.2016 | | Autor: | fred97 |
Zeigen musst Du:
$(M,+)$ ist eine abelsche Gruppe
und
aus $z [mm] \in \IZ$ [/mm] und $m [mm] \in [/mm] M$ folgt stets $z*m [mm] \in [/mm] M$.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 So 24.04.2016 | | Autor: | HannSG |
Ok danke für den Tipp.
Lg HannSG
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