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| Aufgabe | | [mm] 14^{17} [/mm] mod 9 |
Hallo, ich übe noch weiter an den mod Aufgaben und jetzt habe ich eine Aufgabe , bei der der Exponent eine Primzahl ist. Hab mir deshalb den Kleinen Fermatschen Satz angeguckt, aber blicke da nicht so durch, deswegen bin ich ohne Anwendung des Satzes wie folgt vorgegangen:
[mm] 14^{17} [/mm] mod 9 [mm] \equiv (14^{10} [/mm] * [mm] 14^{7} [/mm] ) mod 9 [mm] \equiv [/mm]
Und jetzt eine kleine Nebenrechnung nur für " [mm] 14^{10} [/mm] mod 9 "
[mm] 14^{10} [/mm] mod 9 [mm] \equiv 14^{5} [/mm] * [mm] 14^{5} [/mm] mod 9 [mm] \equiv [/mm]
Und jetzt berechne ich erstmal NUR " [mm] 14^{5} [/mm] mod 9 "
.. [mm] (1*9+5)^{5} [/mm] mod 9 [mm] \equiv 5^{5} [/mm] mod 9 [mm] \equiv [/mm] 3125 [mm] \equiv [/mm] 2 mod 9
Das ist jetzt nur der Rest für [mm] 14^{5} [/mm] mod 9 , ich will aber von [mm] 14^{10} [/mm] muss ich jetzt also die 2 hoch 5 nehmen , also [mm] 2^{5} [/mm] = 32
Und dann wieder zur Ausgangslage zurück ( 32 gemerkt )
[mm] 14^{17} [/mm] mod 9 = (32 * [mm] 14^{7} [/mm] ) mod 9 [mm] \equiv...
[/mm]
Ist das so richtig , dass ich zuerst Teile berechne und jetzt nur noch [mm] 14^{7} [/mm] mod 9 rechnen muss ?
Danke im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:54 Sa 05.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich habe diese neue Aufgabe mal in eine neue Diksussion gepackt.
Marius
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Hallo pcdr,
auch hier läuft irgendwas schief.
> [mm]14^{17}[/mm] mod 9
...soll wohl bestimmt werden. Man erwartet ein Ergebnis zwischen 0 und 8.
> Hallo, ich übe noch weiter an den mod Aufgaben und jetzt
> habe ich eine Aufgabe , bei der der Exponent eine Primzahl
> ist. Hab mir deshalb den Kleinen Fermatschen Satz
> angeguckt, aber blicke da nicht so durch,
Offenbar. Für den kleinen Fermat ist nur erheblich, ob der Modul eine Primzahl ist. Und das ist 9 sicher nicht.
> deswegen bin ich
> ohne Anwendung des Satzes wie folgt vorgegangen:
>
> [mm]14^{17}[/mm] mod 9 [mm]\equiv (14^{10}[/mm] * [mm]14^{7}[/mm] ) mod 9 [mm]\equiv[/mm]
Soweit ok.
> Und jetzt eine kleine Nebenrechnung nur für " [mm]14^{10}[/mm] mod
> 9 "
>
> [mm]14^{10}[/mm] mod 9 [mm]\equiv 14^{5}[/mm] * [mm]14^{5}[/mm] mod 9 [mm]\equiv[/mm]
>
> Und jetzt berechne ich erstmal NUR " [mm]14^{5}[/mm] mod 9 "
>
> .. [mm](1*9+5)^{5}[/mm] mod 9 [mm]\equiv 5^{5}[/mm] mod 9 [mm]\equiv[/mm] 3125 [mm]\equiv[/mm]
> 2 mod 9
Stimmt auch.
> Das ist jetzt nur der Rest für [mm]14^{5}[/mm] mod 9 , ich will
> aber von [mm]14^{10}[/mm] muss ich jetzt also die 2 hoch 5 nehmen ,
> also [mm]2^{5}[/mm] = 32
Nein. Wie Du oben noch richtig schreibst, ist doch [mm] 14^{10}=14^5*14^5=(14^5)^2.
[/mm]
Also ist [mm] 14^{10}\equiv(14^5)^2\equiv 2^2\equiv 4\mod{9}
[/mm]
> Und dann wieder zur Ausgangslage zurück ( 32 gemerkt )
>
> [mm]14^{17}[/mm] mod 9 = (32 * [mm]14^{7}[/mm] ) mod 9 [mm]\equiv...[/mm]
>
> Ist das so richtig , dass ich zuerst Teile berechne und
> jetzt nur noch [mm]14^{7}[/mm] mod 9 rechnen muss ?
Vom Ansatz her geht das, aber so richtig geschickt ist es nicht. Mal anders angesetzt:
1) [mm] 14\equiv 5\mod{9}\quad\Rightarrow\quad 14^{17}\equiv 5^{17}\mod{9}
[/mm]
2) [mm] 17=16+1=2^4+1\quad\Rightarrow\quad 5^{17}\equiv 5^{(2^4)}*5\equiv \left(\left((5^2)^2\right)^2\right)^2*5\mod{9}
[/mm]
...und das ist nun schnell berechnet.
[mm] 5^2\equiv 7\mod{9},\;\;\ (5^2)^2\equiv 7^2\equiv 4\mod{9},\;\;\ \left((5^2)^2\right)^2\equiv 4^2\equiv 7\mod{9},\;\;\ \left(\left((5^2)^2\right)^2\right)^2\equiv 7^2\equiv 4\mod{9}
[/mm]
Letzter Schritt: [mm] 14^{17}\equiv 5^{16}*5\equiv 4*5\equiv 2\mod{9}
[/mm]
Das war jetzt relativ ausführlich aufgeschrieben. Ich hoffe, Du steigst durch.
***
Es gibt noch einen kürzeren Weg, wenn man [mm] 5^3\equiv -1\mod{9} [/mm] herausfindet. Es lohnt sich oft, ein paar kleine Potenzen zu ermitteln.
Dann hat man [mm] 14^{17}\equiv 5^{17}\equiv 5^{5*3+2}\equiv (5^3)^5*5^2\equiv (-1)^5*(-2)\equiv 2\mod{9}. [/mm] Fertig.
Grüße
reverend
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:38 Sa 05.10.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Ich habe wohl zu schnell geantwortet. Hab den Ansatz jetzt verstanden , aber ich habe noch paar Fragen:
> Vom Ansatz her geht das, aber so richtig geschickt ist es nicht. Mal anders angesetzt:
> 1) $ [mm] 14\equiv 5\mod{9}\quad\Rightarrow\quad 14^{17}\equiv [/mm] > [mm] 5^{17}\mod{9} [/mm] $
Okay, das verstehe ich noch.
> 2) $ [mm] 17=16+1=2^4+1\quad\Rightarrow\quad 5^{17}\equiv >5^{(2^4)}\cdot{}5\equiv \left(\left((5^2)^2\right)^2 >\right)^2\cdot{}5\mod{9} [/mm] $
Hier zerteilt man sozusagen den Exponenten bzw schreibt ihn anders auf. [mm] 5^{17} \equiv \Rightarrow 5^{2}^{4} [/mm] , das ist doch eigentlich [mm] 5^{8} [/mm] und * 5 ist dann [mm] 5^{9}. [/mm]
Wie kommst du hier auf " [mm] 5^{(2^4)}*5 [/mm] "
EDIT: Ich habs verstanden , hab mich verguckt. [mm] 2^{4} [/mm] = 16 => [mm] 5^{{2^4}} [/mm] = [mm] 5^{16} [/mm] * 5 = [mm] 5^{17}
[/mm]
Den Rest habe ich verstanden, danke.
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