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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Do 09.04.2009 | | Autor: | didi1985 |
| Aufgabe | Die j-Funktion nimmt jeden Wert aus [mm] \IC [/mm] an.
Beweis: Nach dem Satz über die Gebietstreue ist j(H) ein offener Teil von [mm] \IC. [/mm] Wir werden zeigen, das j(H) auch abgeschlossen in [mm] \IC [/mm] ist. Hieraus folgt dann [mm] j(H)=\IC, [/mm] da [mm] \IC [/mm] zusammenhängend ist.
Wir wählen eine Folge von Punkten aus j(H), welche gegen einen Punkt b konvergiert, [mm] j(\tau_n) \to [/mm] b für n [mm] \to \infty
[/mm]
[...]
(Hierbei ist H obere Halbebene) |
Hi!
Ich habe hierzu eine Frage bzgl. des gewählten b.
Ist b [mm] \in \IC [/mm] ? Wenn ja, wieso kann ich das annehmen. Ich will doch gerade die Surjektivität zeigen, da muss doch nicht für jedes b [mm] \in \IC [/mm] eine entsprechende Bildfolge geben, oder?
Ich weiß zwar, dass [mm] \limes_{Im \tau\rightarrow\infty} |j(\tau)|= \infty.
[/mm]
Damit hat es vielleicht was zu tun... Aber was?
Wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Do 09.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Die j-Funktion nimmt jeden Wert aus [mm]\IC[/mm] an.
> Beweis: Nach dem Satz über die Gebietstreue ist j(H) ein
> offener Teil von [mm]\IC.[/mm] Wir werden zeigen, das j(H) auch
> abgeschlossen in [mm]\IC[/mm] ist. Hieraus folgt dann [mm]j(H)=\IC,[/mm] da
> [mm]\IC[/mm] zusammenhängend ist.
>
> Wir wählen eine Folge von Punkten aus j(H), welche gegen
> einen Punkt b konvergiert, [mm]j(\tau_n) \to[/mm] b für n [mm]\to \infty[/mm]
>
> [...]
> (Hierbei ist H obere Halbebene)
>
> Hi!
> Ich habe hierzu eine Frage bzgl. des gewählten b.
> Ist b [mm]\in \IC[/mm] ? Wenn ja, wieso kann ich das annehmen.
Du willst zeigen, dass $j(H)$ abgeschlossen in [mm] $\IC$ [/mm] ist. Also musst du zu jeder konvergenten Folge in [mm] $\IC$, [/mm] deren Folgenglieder in $j(H)$ liegen zeigen, dass auch der Grenzwert in $j(H)$ liegt.
Also nimmst du dir eine Folge in $j(H)$ die gegen ein $b [mm] \in \IC$ [/mm] konvergiert.
> Ich
> will doch gerade die Surjektivität zeigen, da muss doch
> nicht für jedes b [mm]\in \IC[/mm] eine entsprechende Bildfolge
> geben, oder?
Die Surjektivitaet wird hier nicht direkt gezeigt! Was du tust ist zeigen, dass $j(H)$ sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Da [mm] $\IC$ [/mm] zusammenhaengend ist, sind die einzigen Teilmengen, di esowohl offen als auch abgeschlossen sind, [mm] $\IC$ [/mm] und [mm] $\emptyset$. [/mm] Da $j(H) [mm] \neq \emptyset$ [/mm] ist muss also $j(H) = [mm] \IC$ [/mm] sein.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Do 09.04.2009 | | Autor: | didi1985 |
klar, logisch. sollte ja aus Analysis bekannt sein...
Dankeschön
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