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Hallo...
Ich habe ein paar Beispiele für Moduln gefunden. Kann mir bitte jemand sagen, ob meine Bemerkungen wieso sie Moduln sind, richtig sind?
a) Jeder Ring ist ein Modul über sich selbst.
Nun ein Ring ist insbesondere eine additive abelsche Gruppe. Kann man es auch zu folgendem ausweiten? Jeder Körper ist ein Modul über sich selbst? Ist das dann ein Vektorraum?
b) Jede abelsche Gruppe ist ein [mm] $(\mathbb{Z}$-Modul. [/mm]
Nach dem Motto: wir wählen uns einen festen Ring, also [mm] $\mathbb{Z},+)$, [/mm] welches zufällig der "kleinste"/"unkomplizierteste" ist... genausogut würde auch [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] oder [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] gehen, richtig?
c) Jedes Linksideal in einem Ring $A$ ist ein Modul über $A$.
Das verstehe ich nicht. Nach Definition ist ein Linksideal zwar eine additive Untergruppe (also mit der induzierten Verknüpfung eine Gruppe), aber NICHT abelsch! Die Kommutativität wird aber beim Modul gefordert! Wie ist das zu erklären?
Gute Nacht, dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:59 So 23.10.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> a) Jeder Ring ist ein Modul über sich selbst.
> Nun ein Ring ist insbesondere eine additive abelsche
> Gruppe. Kann man es auch zu folgendem ausweiten? Jeder
> Körper ist ein Modul über sich selbst? Ist das dann ein
> Vektorraum?
das stimmt alles. das mit dem vektorraum ist sogar ein spezialfall, da jeder körper natürlich auch ein ring ist. für diesen speziallfall, dass man die endlich erzeugten $k$-moduln für einen körper $k$ betrachten will, kann man diese sogar recht einfach klassifizieren: das sind genau die endlich-dimensionalen $k$-vektorräume, also im prinzip alle [mm] $k^n$ [/mm] für $n [mm] \in \mathbb{N}_0$.
[/mm]
> b) Jede abelsche Gruppe ist ein [mm](\mathbb{Z}[/mm]-Modul.
> Nach dem Motto: wir wählen uns einen festen Ring, also
> [mm]\mathbb{Z},+)[/mm], welches zufällig der
> "kleinste"/"unkomplizierteste" ist... genausogut würde auch
> [mm]\mathbb{Q}[/mm] oder [mm]\mathbb{R}[/mm] gehen, richtig?
dass jede abelsche gruppe ein [mm] $\mathbb{Z}$-modul [/mm] ist stimmt, da man einfach die skalar-multiplikation als
[m] m \cdot x = \underbrace{x + ... + x}_{m-\text{mal}}, \qquad m \geq 0 [/m]
und [m] m \cdot x = - (-m) \cdot x [/m] für [m] m < 0 [/m] definieren kann (man addiert einfach das element $x$ $m$-mal auf). dies erfüllt die modul-strukturen. jedoch gilt dass für körper nicht mehr (also zum beispiel für [m]\mathbb{Q}, \mathbb{R} [/m]). zum beispiel ist [m]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} [/m] ein [mm] $\mathbb{Z}$-modul, [/mm] jedoch kein [mm] $\mathbb{Q}$-modul [/mm] (= [mm] $\mathbb{Q}$-vektorraum).
[/mm]
> c) Jedes Linksideal in einem Ring [mm]A[/mm] ist ein Modul über [mm]A[/mm].
> Das verstehe ich nicht. Nach Definition ist ein Linksideal
> zwar eine additive Untergruppe (also mit der induzierten
> Verknüpfung eine Gruppe), aber NICHT abelsch! Die
> Kommutativität wird aber beim Modul gefordert! Wie ist das
> zu erklären?
bei ringen ist ja immer vorrausgestzt, dass die additive gruppe abelsch ist, das gilt dann natürlich auch insbesonder für links-ideale. die kommutativität der multiplikation braucht man nicht um die modul-axiome zu verifizieren (siehe zum beispiel ![[]](/images/popup.gif) hier)
ich hoffe das hilft dir weiter, sonst frage nach.
grüße
andreas
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Hi Andreas!
Dass Linksideal in einem Ring $A$ auch $A$-Moduln sind, ist jetzt klar! Da hätte ich auch selber drauf kommen können 
Aber ich habe folgendes nicht verstanden:
Gut, es gilt:
b) Jede abelsche Gruppe ist ein [mm](\mathbb{Z}[/mm]-Modul.
Aber wieso ist nicht jede abelsche Gruppe ein [mm] $\mathbb{R}$-Modul? [/mm] Schließlich ist ja [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] ein Körper und somit mit der Addition ein Ring... Welches Modul-Axiom ist denn da verletzt???
Gute Nacht, dancingestrella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:30 Mo 24.10.2005 | | Autor: | statler |
Einen schönen guten Morgen!
> Aber wieso ist nicht jede abelsche Gruppe ein
> [mm]\mathbb{R}[/mm]-Modul? Schließlich ist ja [mm]\mathbb{R}[/mm] ein Körper
> und somit mit der Addition ein Ring... Welches Modul-Axiom
> ist denn da verletzt???
Wie würdest du denn z. B. für ein a aus dieser abelschen Gruppe das Produkt 1,5*a (oder [mm] \pi*a) [/mm] definieren wollen?
Anderes Argument für endliche abelsche Gruppen: Über [mm] \IR [/mm] wäre die Gruppe ja ein mind. 1dimensionaler Vektorraum und hätte folglich unendlich viele Elemente. Widerspruch!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo...
> Wie würdest du denn z. B. für ein a aus dieser abelschen
> Gruppe das Produkt 1,5*a (oder [mm]\pi*a)[/mm] definieren wollen?
Na klar! Das geht natürlich nicht... schließlich muss die Abbildung ja wieder in der Menge die der abelschen Gruppe zugrunde liegt landen!
DANKE, dancingestrella
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