Modulo, Ordnung von Elementen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Welche Elemente des Restklassenrings modulo 16 sind Eineiten? Bestimmen Sie die multiplikative Ordnung derjenigen Elemente, die Einheiten sind. |
Hallo Freunde der Mathematik,
folgende Aufgabe ist eine Klausuraufgabe. Ich bin mir aber nicht hunderprozentig sicher, ob ich diese vollständig berechnet habe. Ich laufe bei "Modulo"-Augaben immer Gefahr etwas zu übersehen.
[mm] $x*1mod16\equiv 1\Rightarrow x=\{k\in\IZ| 16k+1\}$
[/mm]
Dies dürfte die einzige Einheit sein, weil mit [mm] $1\equiv [/mm] 17$ die 17 prim ist.
ord(1)=1
Über Tipps, wie man solche Aufgabe am zeiteffizientesten berechnet würde ich mich sehr freuen.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo Christoph,
ich machs kurz:
Dein Ansatz hat mit der Aufgabe nichts zu tun.
Schlage bitte folgendes nach (das steht mit an Sicherheit grenzender W-keit in deinem Skript):
- Def. des inversen Elements
- Einheiten im Restklassenring
- eulersche [mm] $\varphi$-Funktion.
[/mm]
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Hallo sometree,
danke für die Info.
Es muss also [mm] $ab\equiv [/mm] 1mod16$ heißen. Das heißt man muss alle Elemente aus dem Restklassenring (a,b) durchprobieren. Inwiefern spielt denn dabei die eulersche [mm] $\phi$-Funktion [/mm] dabei eine Rolle?
Liebe Grüße
Christoph
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> Hallo sometree,
>
> danke für die Info.
>
> Es muss also [mm]ab\equiv 1mod16[/mm] heißen. Das heißt man muss
> alle Elemente aus dem Restklassenring (a,b) durchprobieren.
Das wär sehr umständlich.
Sagt dir Lemma von Bezout was?
Ich bin mir sehr sicher, dass ihr einen Satz bewiesen habt der Satz wie die Einheiten modulo n aussehen. Evtl. im zusammenhang mit der Def. des [mm] Euler-$\varphi$.
[/mm]
> Inwiefern spielt denn dabei die eulersche [mm]\phi[/mm]-Funktion
> dabei eine Rolle?
Die gibt die Anzahl der Einheiten modulo n an.
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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Hallo Sometree,
ja der Satz sagt mir was. Er wird beim ggT angewendet, wenn die Koeffizienten beider Ausgangszahlen (natürliche Zahlen) ermittelt werden sollen. Inwiefern kann das bei der Aufgabe nützen?
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 So 07.07.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nimm mal an, dass der ggT von 16 und einer Zahl a gleich 1 ist. Bezout gibt dir 2 zahlen x und y mit ax+16y=1. Rechne mal beide Seiten dieser Gleichung modulo 16.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:56 So 07.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Christoph,
> Hallo sometree,
>
> danke für die Info.
>
> Es muss also [mm]ab\equiv 1mod16[/mm] heißen.
schau' mal in
Elementare und algebraische Zahlentheorie, Piontkowski und Müller-Stach
Satz 5.10, resp. Satz 4.8
In der Bibliothek hast Du sicher Zugriff auf das Buch; oder such' mal mit
google books danach...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke für den Tipp, im Grunde ist die Aussage der beiden Sätze zusammengenommen doch nichts anderes als die Eulersche [mm] $\phi$- [/mm] Funktion, oder?
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Mo 08.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> danke für den Tipp, im Grunde ist die Aussage der beiden
> Sätze zusammengenommen doch nichts anderes als die
> Eulersche [mm]\phi[/mm]- Funktion, oder?
das kann man so nicht sagen: Satz 4.8 liefert die Grundlage für Satz 5.10. Satz 5.10 ist
wiederum ein Hilfsmittel bzgl. der Eulerschen [mm] $\varphi$-Funktion [/mm] - diese könnte man auch ohne
Satz 5.10 einfach erstmal definieren, einfach so, wie es in Definition 5.12 steht, aber mit Satz 5.10
kann man insbesondere Hilfsmittel herleiten (Lemma 5.13, Lemma 5.14), um die Eulersche
[mm] $\varphi$-Funktion [/mm] mithilfe der Primfaktorzerlegung einer (jeden) natürlichen Zahl zu beschreiben:
Satz 5.15
Ich erwähnte das Erwähnte nur, weil es eben die Grundlagen sind, auf die sometree verweist!
Gruß,
Marcel
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Danke für eure Hilfe bis hier. Aber ich muss vorerst andere Aufgaben lernen. Ich komme aber auf dieses Thema ggf. noch einmal zurück.
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