Möbius-Funktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 So 01.01.2012 | | Autor: | swetti |
| Aufgabe | Zeige:
[mm] \summe_{d^{2}| m} \mu [/mm] (d) = [mm] \mu^{2} [/mm] (m)
Tip: Zeige zuerst, dass die linke Seite multiplikativ ist:
[mm] \mu^{2} [/mm] = [mm] \mu [/mm] * [mm] \mu [/mm] = gewöhnliches Produkt |
Hallo,
ich bearbeite gerade die obige Aufgabe, aber leider fehlt mir der Zugang, sodass ich nicht weiß, wie ich an die Aufgabe herangehen soll.
Folgendes ist gegeben bzw. bekannt:
d ist Teiler von m; m, d [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \mu(m) [/mm] ist Möbius-Funktion mit
[mm] \mu(m) [/mm] = 1 wenn m =1
= 0 wenn [mm] \exists [/mm] p Primzahl: [mm] v_{p}(m) [/mm] > 1
[mm] =(1)^{r} [/mm] wenn m = [mm] p_{1}*...*p_{r}, p_{i} \not= p_{j}, [/mm] r [mm] \in \IN [/mm]
Ich bedanke mich recht herzlich für eure Hilfe. Wenn irgendwelche Zeichen unklar geblieben sind, dann schreibe ich das gerne noch dazu.
swetti
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Mo 02.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Zeige:
> [mm]\summe_{d^{2}| m} \mu[/mm] (d) = [mm]\mu^{2}[/mm] (m)
>
> Tip: Zeige zuerst, dass die linke Seite multiplikativ ist:
> [mm]\mu^{2}[/mm] = [mm]\mu[/mm] * [mm]\mu[/mm] = gewöhnliches Produkt
ah, mit der Moebius-Funktion macht die Aufgabe auch gleich mehr Sinn...
> ich bearbeite gerade die obige Aufgabe, aber leider fehlt
> mir der Zugang, sodass ich nicht weiß, wie ich an die
> Aufgabe herangehen soll.
>
> Folgendes ist gegeben bzw. bekannt:
>
> d ist Teiler von m; m, d [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm]\mu(m)[/mm] ist Möbius-Funktion mit
>
> [mm]\mu(m)[/mm] = 1 wenn m =1
> = 0 wenn [mm]\exists[/mm] p Primzahl: [mm]v_{p}(m)[/mm] > 1
> [mm]=(1)^{r}[/mm] wenn m = [mm]p_{1}*...*p_{r}, p_{i} \not= p_{j},[/mm] r [mm]\in \IN[/mm]
Nun, als Tipp steht da ja, dass du zeigen sollst das die linke Seite multiplikativ ist (die rechte ist es sowieso). Seien also $n, m$ teilerfremd. Du musst [mm] $(\sum_{d^2 \mid n} \mu(d)) \cdot (\sum_{d^2 \mid m} \mu(d)) [/mm] = [mm] \sum_{d^2 \mid n m} \mu(d)$ [/mm] zeigen.
Beachte dazu, dass [mm] $\sum_{d^2 \mid n m} [/mm] g(d) = [mm] \sum_{d_1^2 \mid n} \sum_{d_2^2 \mid m} g(d_1 d_2)$ [/mm] ist, da $n$ und $m$ teilerfremd sind.
Wenn du damit fertig ist, zeige die Gleichung fuer $m = [mm] p^e$ [/mm] mit einer Primzahl $p$ und $e [mm] \in \IN$. [/mm] Wegen der Multiplikativitaet und der Primfaktorzerlegung in [mm] $\IN$ [/mm] folgt die Gleichung dann fuer alle natuerlichen Zahlen $> 0$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Mo 02.01.2012 | | Autor: | swetti |
Danke für deine schnelle Rückmeldung...ja mit der anderen Definition bin ich beinahe verzweifelt.
Ich werde mir deine Hinweise gleich noch genauer anschauen und sie versuchen nachzuvollziehen...vorher wollte ich dich aber noch was fragen zur Möbius-Fkt.:
Diese ist doch 0, wenn meine Zahl nicht quadratfrei ist. Und in der Summe steht doch [mm] d^{2} [/mm] | n, also ist n dann doch nicht quadratfrei und demnach müsste doch [mm] \mu [/mm] (n) = 0 sein. Oder darf ich das so nicht verbinden?
Danke dür die Hilfe,
grüße swetti
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Mo 02.01.2012 | | Autor: | hippias |
Das ist schon richtig, aber beachte, dass in der Summe [mm] $\mu(d)$ [/mm] steht, nicht [mm] $\mu(d^{2})$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Mo 02.01.2012 | | Autor: | swetti |
Ok, dann gehen meine Gedanke in die richtige Richtung.
Ja, mir ist bewusst, dass in der Summe [mm] \mu(d) [/mm] steht, ich dachte nur, dass durch das [mm] d^{2}|n [/mm] ja eine Aussage über das n getroffen wurde, nämlich dass in der Summe nur die d betrachtet werden mit [mm] d^{2} [/mm] telt n. Das heißt ja, dass das links betrachtete n einen quadratteiler hat. Das n auf der rechten Seite ist doch das selbe n wie links, also ist [mm] \mu^{2}(n) [/mm] = 0 für jedes betrachtete n. oder?
Ich frage mich daher, wieso man dann nicht gleich rechts 0 schreibt?
Danke für eure Hilfe,
grüße swetti
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Mo 02.01.2012 | | Autor: | hippias |
Weil es nicht immer $=0$ ist. Das erkennst Du, wenn Du dir ueberlegst, was mit der Summe passiert, wenn $n$ quadratfrei ist; beachte, dass $1$ hierbei nicht als Qudratzahl zaehlt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Mo 02.01.2012 | | Autor: | swetti |
Irgendwie ist das nicht so meine Aufgabe oder ich steh echt voll neben mir...
ich habe mir versucht, die Aussagen anhand einiger Beispiele anzugucken:
n=5:
rechte Seite: [mm] \mu(5) [/mm] = [mm] (-1)^{1} [/mm] = -1
linke Seite: es gibt kein d mit [mm] d^{2}| [/mm] 5 , also [mm] \summe_{d^{2}| 5} [/mm] ??
denn es gibt keinen Teiler d von 5 mit [mm] d^{2} [/mm] |5
n=20: 20 = [mm] 2^{2}*5
[/mm]
rechte Seite: [mm] \mu(20)= [/mm] 0 wg [mm] 2^{2}, [/mm] also [mm] \mu^{2} [/mm] (20) = 0
linke Seite: mit d=2 ist [mm] \summe_{d^{2}| 20} \mu(d) [/mm] = [mm] \mu(2) [/mm] = [mm] (-1)^{1} [/mm] = -1
und dann wären sie auch nicht gleich...oder muss ich die 1 links doch mitzählen, dann würde da nämlich [mm] \mu(1)+\mu(2) [/mm] = 1 + (-1) = 0 stehen.
n= 36: 36 = [mm] 2^{2} [/mm] * [mm] 3^{2}
[/mm]
rechte Seite: [mm] \mu(36) [/mm] = 0, also wieder [mm] \mu^{2} [/mm] (36) =0
linke Seite: mit d=2 und d=3 folgt: [mm] \mu(2)+\mu(3)= (-1)^1+(-1)^1 [/mm] = -2
und wenn ich hier nun d=1 hinzunehmen würde, so wäre die Summe immer noch gleich -1 [mm] \not= [/mm] 0
Ich kann jetzt für n immer größere Zahlen wählen z.B. n = [mm] 2^{2}*3^{2}*5^{2}*7^{2}, [/mm] also immer Primzahlen hoch k. Dann habe ich unter der Summe nur [mm] \mu(PZ) [/mm] stehen und das ist ja immer -1, und damit meine Summe -m mit m Anzahl meiner Primzahlen hoch k.
Während rechts ja nur 0 oder 1 stehen kann.
Das klingt für mich alles irgendwie nicht logisch. Irgendwas scheine ich zu übersehen oder nicht korrekt verstanden zu haben??? ..mist.
Ok, erstmal weiter...Wenn ich nun die Multiplikativität der Summe zeigen will, dann :
Seien n, m [mm] \in \IN [/mm] gegeben mit ggT(n, m) = 1 und sei d = [mm] d_{1}*d_{2} [/mm] ein Teiler von nm mit [mm] d_{1} [/mm] | n und [mm] d_{2} [/mm] | m (oder muss ich hier [mm] d_{1}^{2} [/mm] | n und [mm] d_{2}^{2} [/mm] | m stehen haben für meine zu zeigende Aussage??) Dann
[mm] \summe_{d_{1}^{2} | n} \mu(d_{1}) [/mm] * [mm] \summe_{d_{2}^{2} | m} \mu(d_{2}) [/mm] = [mm] \summe_{d_{1}^{2} | n} \summe_{d_{2}^{2} | m} \mu(d_{1})*\mu(d_{2}) [/mm]
da [mm] \mu [/mm] multiplikativ
= [mm] \summe_{d_{1}^{2} | n} \summe_{d_{2}^{2} | m} \mu(d_{1}* d_{2}) [/mm]
da ggT(n,m) = 1, d = [mm] d_{1}*d_{2}
[/mm]
= [mm] \summe_{d^{2} | n*m} \mu(d). [/mm]
Oder habe ich hier irgendeinen Schritt übersprungen oder vergessen?
Jetzt müsste ich ja meine eigentliche Aussage zeigen:
Sei m = [mm] p_{i}^{e_{i}} [/mm] und d [mm] =d_{i}, [/mm] i= 1,...,k mit [mm] d_{i} [/mm] | [mm] p_{i}^{e_{i}}. [/mm] (reicht diese Aussagen,oder muss hier [mm] d_{i}^{2} |p_{i}^{e_{i}} [/mm] gelten??)
Dann folgt mit der Multiplikativität von [mm] \mu
[/mm]
[mm] \summe_{d^{2} | m} \mu(d) [/mm] = [mm] \summe_{d_{i}^{2} | p_{i}^{e_{i}}} \mu(d_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{d_{1}^{2} | p_{1}^{e_{1}}} \mu(d_{1})*...* [/mm]
[mm] \summe_{d_{k}^{2} | p_{k}^{e_{k}}} \mu(d_{k})
[/mm]
Ist das so ok?
Wenn ja: Ist das jetzt nicht nur noch = [mm] \mu(d_{1})*..* \mu(d_{k}), [/mm] weil ich die [mm] d_{i} [/mm] so gewählt habe?
Den Sprung zu [mm] =\mu^{2}(p_{i}^{e_{i}}) [/mm] = [mm] \mu^{2}(m) [/mm] schaffe ich aber nicht an dieser Stelle...und würde mich über den richtigen Hinweis sehr freuen!!!
Ich bedanke mich sehr herzlich für eure Hilfe!!!
Lg swetti
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Di 03.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Irgendwie ist das nicht so meine Aufgabe oder ich steh echt
> voll neben mir...
>
> ich habe mir versucht, die Aussagen anhand einiger
> Beispiele anzugucken:
>
> n=5:
> rechte Seite: [mm]\mu(5)[/mm] = [mm](-1)^{1}[/mm] = -1
Naja, die rechte Seite ist [mm] $\mu(5)^2 [/mm] = 1$.
> linke Seite: es gibt kein d mit [mm]d^{2}|[/mm] 5 , also
Was ist mit $d = 1$?
> [mm]\summe_{d^{2}| 5}[/mm] ??
> denn es gibt keinen Teiler d von 5 mit [mm]d^{2}[/mm] |5
>
> n=20: 20 = [mm]2^{2}*5[/mm]
> rechte Seite: [mm]\mu(20)=[/mm] 0 wg [mm]2^{2},[/mm] also [mm]\mu^{2}[/mm] (20) = 0
> linke Seite: mit d=2 ist [mm]\summe_{d^{2}| 20} \mu(d)[/mm] =
> [mm]\mu(2)[/mm] = [mm](-1)^{1}[/mm] = -1
> und dann wären sie auch nicht gleich...oder muss ich die
> 1 links doch mitzählen, dann würde da nämlich
> [mm]\mu(1)+\mu(2)[/mm] = 1 + (-1) = 0 stehen.
Ja, die 1 brauchst du. [mm] $1^2$ [/mm] ist ja auch ein Teiler von $20$.
> n= 36: 36 = [mm]2^{2}[/mm] * [mm]3^{2}[/mm]
> rechte Seite: [mm]\mu(36)[/mm] = 0, also wieder [mm]\mu^{2}[/mm] (36) =0
> linke Seite: mit d=2 und d=3 folgt: [mm]\mu(2)+\mu(3)= (-1)^1+(-1)^1[/mm]
> = -2
> und wenn ich hier nun d=1 hinzunehmen würde, so wäre die
> Summe immer noch gleich -1 [mm]\not=[/mm] 0
Du hast $d = 6$ vergessen. Schliesslich gilt [mm] $6^2 \mid [/mm] 36$.
> Ich kann jetzt für n immer größere Zahlen wählen z.B. n
> = [mm]2^{2}*3^{2}*5^{2}*7^{2},[/mm] also immer Primzahlen hoch k.
> Dann habe ich unter der Summe nur [mm]\mu(PZ)[/mm] stehen und das
> ist ja immer -1, und damit meine Summe -m mit m Anzahl
> meiner Primzahlen hoch k.
Du hast auch hier ganz viele Teiler vergessen.
> Während rechts ja nur 0 oder 1 stehen kann.
>
> Das klingt für mich alles irgendwie nicht logisch.
> Irgendwas scheine ich zu übersehen oder nicht korrekt
> verstanden zu haben??? ..mist.
>
> Ok, erstmal weiter...Wenn ich nun die Multiplikativität
> der Summe zeigen will, dann :
>
> Seien n, m [mm]\in \IN[/mm] gegeben mit ggT(n, m) = 1 und sei d =
> [mm]d_{1}*d_{2}[/mm] ein Teiler von nm mit [mm]d_{1}[/mm] | n und [mm]d_{2}[/mm] | m
> (oder muss ich hier [mm]d_{1}^{2}[/mm] | n und [mm]d_{2}^{2}[/mm] | m stehen
> haben für meine zu zeigende Aussage??)
Ja, fuer deine Aussage brauchst du das genau so.
> Dann
> [mm]\summe_{d_{1}^{2} | n} \mu(d_{1})[/mm] * [mm]\summe_{d_{2}^{2} | m} \mu(d_{2})[/mm]
> = [mm]\summe_{d_{1}^{2} | n} \summe_{d_{2}^{2} | m} \mu(d_{1})*\mu(d_{2})[/mm]
> da [mm]\mu[/mm] multiplikativ
und da $n, m$ teilerfremd! Womit dann auch [mm] $d_1, d_2$ [/mm] teilerfremd sind. Ansonsten darfst du [mm] $\mu(d_1) \mu(d_2) [/mm] = [mm] \mu(d_1 d_2)$ [/mm] nicht machen!
> = [mm]\summe_{d_{1}^{2} | n} \summe_{d_{2}^{2} | m} \mu(d_{1}* d_{2})[/mm]
> da ggT(n,m) = 1, d = [mm]d_{1}*d_{2}[/mm]
> = [mm]\summe_{d^{2} | n*m} \mu(d).[/mm]
> Oder habe ich hier irgendeinen Schritt übersprungen oder
> vergessen?
>
> Jetzt müsste ich ja meine eigentliche Aussage zeigen:
> Sei m = [mm]p_{i}^{e_{i}}[/mm] und d [mm]=d_{i},[/mm] i= 1,...,k mit [mm]d_{i}[/mm]
> | [mm]p_{i}^{e_{i}}.[/mm] (reicht diese Aussagen,oder muss hier
> [mm]d_{i}^{2} |p_{i}^{e_{i}}[/mm] gelten??)
Ja.
> Dann folgt mit der Multiplikativität von [mm]\mu[/mm]
> [mm]\summe_{d^{2} | m} \mu(d)[/mm] = [mm]\summe_{d_{i}^{2} | p_{i}^{e_{i}}} \mu(d_{i})[/mm]
> = [mm]\summe_{d_{1}^{2} | p_{1}^{e_{1}}} \mu(d_{1})*...*[/mm]
> [mm]\summe_{d_{k}^{2} | p_{k}^{e_{k}}} \mu(d_{k})[/mm]
> Ist das so
> ok?
Ja.
> Wenn ja: Ist das jetzt nicht nur noch = [mm]\mu(d_{1})*..* \mu(d_{k}),[/mm]
> weil ich die [mm]d_{i}[/mm] so gewählt habe?
Nein?
Du hast die [mm] $d_i$ [/mm] nicht "gewaehlt". Die durchlaufen alle Zahlen, deren Quadrat [mm] $p_i^{e_i}$ [/mm] teilt.
Wie diese [mm] $d_i$ [/mm] genau aussehen kannst du konkret hinschreiben.
> Den Sprung zu [mm]=\mu^{2}(p_{i}^{e_{i}})[/mm] = [mm]\mu^{2}(m)[/mm] schaffe
> ich aber nicht an dieser Stelle...und würde mich über den
Na, wie schon vorher gesagt: zeige die Aussage explizit fuer $m = [mm] p^e$. [/mm] Das ist genau das, was du hier dann brauchst.
LG Felix
|
|
|
|
