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| Aufgabe | Die Möbius-Transformation [mm] T_{1} [/mm] ist durch [mm] T_{1}(i)=0, T_{1}(-i)=\infty [/mm] und [mm] T_{1}(0)=-1 [/mm] gegeben.
(i) Bestimmen Sie [mm] T_{1}(z) [/mm] für z [mm] \in \IC, T_{1}(\infty) [/mm] und die Umkehrtransformation [mm] T_{1}^{-1} [/mm] von [mm] T_{1}. [/mm] |
hi,
ich komm einfach nich weiter. mein ansatz:
[mm] f(z)=\bruch{az+b}{cz+d}
[/mm]
[mm] f(0)=\bruch{b}{d}=-1
[/mm]
[mm] f(i)=\bruch{ai+b}{ci+d}=0 \Rightarrow [/mm] ai+b=0 [mm] \gdw [/mm] b=-ai
[mm] f(-i)=\bruch{-ai+b}{-ci+d}=\infty \Rightarrow [/mm] -ci+d=0 [mm] \gdw [/mm] d=ci
b und d einsetzen in f(0):
[mm] \bruch{-ai}{ci}=-1 \gdw \bruch{a}{c}=1 [/mm]
und was mach ich jetzt?
sg
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Hallo Reicheinstein,
> Die Möbius-Transformation [mm]T_{1}[/mm] ist durch [mm]T_{1}(i)=0, T_{1}(-i)=\infty[/mm]
> und [mm]T_{1}(0)=-1[/mm] gegeben.
>
> (i) Bestimmen Sie [mm]T_{1}(z)[/mm] für z [mm]\in \IC, T_{1}(\infty)[/mm] und
> die Umkehrtransformation [mm]T_{1}^{-1}[/mm] von [mm]T_{1}.[/mm]
> hi,
>
> ich komm einfach nich weiter. mein ansatz:
>
> [mm]f(z)=\bruch{az+b}{cz+d}[/mm]
>
> [mm]f(0)=\bruch{b}{d}=-1[/mm]
> [mm]f(i)=\bruch{ai+b}{ci+d}=0 \Rightarrow[/mm] ai+b=0 [mm]\gdw[/mm] b=-ai
> [mm]f(-i)=\bruch{-ai+b}{-ci+d}=\infty \Rightarrow[/mm] -ci+d=0 [mm]\gdw[/mm]
> d=ci
>
> b und d einsetzen in f(0):
>
> [mm]\bruch{-ai}{ci}=-1 \gdw \bruch{a}{c}=1[/mm]
>
> und was mach ich jetzt?
Du musst die einzelnen Bedingungen nur richtig miteinander verknüpfen.
Wir haben
[mm]\left(1\right) \ b = -d [/mm]
[mm]\left(2\right) \ b= -a*i[/mm]
[mm]\left(3\right) \ d=c*i[/mm]
[mm]\left(4\right) \ a=c[/mm]
Daraus ergeben sich:
[mm]b=-a*i[/mm]
[mm]d=-b=a*i[/mm]
[mm]c*i=d=-b=a*i \Rightarrow c=a[/mm]
Dann haben wir die Möbiustransformation gefunden.
>
> sg
Gruß
MathePower
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hi, danke für deine schnelle antwort.
die beziehungen hat ich ja alle. ich konnte sie bloß nich gescheit kombinieren. ist folgendes richtig?
[mm] f(z)=\bruch{az-ai}{az+ai} [/mm] hab ich für b -> -ai, für d -> ai und für c -> a eingesetzt.
[mm] \Rightarrow f(z)=\bruch{z-i}{z+i} [/mm] hoffe das passt!?
sg
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Hallo Reicheinstein,
> hi, danke für deine schnelle antwort.
>
> die beziehungen hat ich ja alle. ich konnte sie bloß nich
> gescheit kombinieren. ist folgendes richtig?
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> [mm]f(z)=\bruch{az-ai}{az+ai}[/mm] hab ich für b -> -ai, für d -> ai
> und für c -> a eingesetzt.
> [mm]\Rightarrow f(z)=\bruch{z-i}{z+i}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> hoffe das passt!?
Ja!
> sg
LG
schachuzipus
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