Möbiustransf. Einheitskreis < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $\phi: \overline{\IC} \to \overline{\IC}$ [/mm] eine Möbiustransformation. Es sei [mm] $\partial [/mm] E [mm] :=\{z \in \IC: |z| = 1\}$ [/mm] der Einheitskreis. Zeige oder widerlege, dass gilt:
[mm] $\phi(\partial [/mm] E) [mm] \subset \partial [/mm] E [mm] \Rightarrow \phi(\partial [/mm] E) = [mm] \partial [/mm] E$. |
Hallo!
Ich vermute, dass die Aussage stimmt.
Allerdings fällt mir kein Weg ein, dass ohne explizites Nachrechnen zu beweisen.
Ich könnte aus der allgemeinen Darstellung [mm] $\phi(z) [/mm] = [mm] \frac{az+b}{cz+d}$ [/mm] und der Forderung $|z| = 1 [mm] \Rightarrow |\phi(z)| [/mm] = 1$ natürlich Folgerungen für die Parameter $a,b,c,d$ erhalten und dann zeigen, dass die resultierende Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] den Einheitskreis schon bijektiv auf sich selbst abbilden muss, aber das scheint sehr aufwendig zu sein.
Gibt es einen kurzen Beweis mit Hilfe eines Satzes aus der Funktionentheorie?
Viele Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Di 07.10.2014 | | Autor: | fred97 |
Stichwort:
"Moebiustransformationen bilden Kreise auf Kreise oder auf Geraden ab ."
[mm] $\partial [/mm] E$ ist ein Kreis. Wenn [mm] $\phi(\partial [/mm] E) [mm] \subset \partial [/mm] E$ ist, was kann dann [mm] $\phi(\partial [/mm] E)$ nur sein ?
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Di 07.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
um Freds Satz zu benutzen- falls ihr ihn nicht hattet, reicht es zu zeigen dass z-1/z das tut, der rest ist ja nur Translation Drehung und Streckung.
Gruß leduart
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Hallo,
danke euch beiden. Habe den von Fred zitierten Satz im Skript gefunden.
Stefan
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