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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Mi 10.05.2006 | | Autor: | susi2006 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IC \cup\{\infty\} \to\IC \cup\{\infty\} [/mm] eine Möbiustransformation. Zeige :
[mm] f(\IR\cup\{\infty\}) \to \IR\cup\{\infty\} \gdw [/mm] Es existieren a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] mit
ad-cb [mm] \not= [/mm] 0 und f(z) = [mm] \bruch{az+b}{cz+d} [/mm] |
Hallo!
Meine Frage zur obigen Aufgabe ist, was ist eigentlich zu zeigen? Soll NUR der Punkt [mm] z=\infty+0i=\infty [/mm] auf [mm] \infty [/mm] abgebildet werden oder ist hier gemeint, dass für alle Punkte aus [mm] \IR [/mm] auch f(z) = [mm] \IR [/mm] ist, also z.B. f(1)=1, f(-3)=-3 usw. oder NUR [mm] f(x=\infty)=\infty [/mm] auf der reellen Achse?
Vielen Dank für die Hilfe!
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Gemeint ist, daß die reelle, durch [mm]\infty[/mm] abgeschlossene Gerade auf sich selbst abgebildet wird.
Du solltest übrigens nicht [mm]\infty = \infty + 0 \cdot \operatorname{i}[/mm] schreiben. Das suggeriert etwas Falsches, nämlich als ob [mm]\infty[/mm] nur auf der reellen Achse im Unendlichen läge. Das ist aber nicht der Fall. [mm]\infty[/mm] liegt auf jeder Geraden der Gaußschen Zahlenebene. Am besten stellst du dir dazu [mm]\mathbb{C}[/mm] als im Nordpol gelochte Kugel und [mm]\infty[/mm] als Nordpol vor (Riemannsche Zahlenkugel).
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