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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Di 10.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Finde jeweils eine Möbius-Transformation g, so dass
i) $-1 [mm] \mapsto 0,1\mapsto \infty,i \mapsto [/mm] -1$ Wie groß ist g(0).
[mm] ii)$\{z \in \mathbb{C} : |z|^2 = 1\} \mapsto \{z \in \mathbb{C} : |z-4-3i|^2 = 25 \} [/mm] $ |
Zu
i bin ich so vorgegangen.
$g(-1) = [mm] \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\ \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \frac{-a+b}{c+d}=0\Rightarrow [/mm] a = b $
$g(1) = [mm] \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \frac{a+b}{c+d}=\infty \frac{-d}{c}\Rightarrow [/mm] c = -d $
$g(i) = [mm] \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} i\\ 1\\ \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \frac{ai+b}{ci+d}=-1 \Rightarrow [/mm] c = -a,d=-b $
Also ist
$g(z) = [mm] \begin{pmatrix} a & a \\ -a & -a \\ \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} z \\ 1\\ \end{pmatrix} [/mm] $
und$g(0)=-1$
Stimmt ?
Zu 2 habe ich keine Idee.
Viele Grüße Nadia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Di 10.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Finde jeweils eine Möbius-Transformation g, so dass
> i) [mm]-1 \mapsto 0,1\mapsto \infty,i \mapsto -1[/mm] Wie groß
> ist g(0).
> ii)[mm]\{z \in \mathbb{C} : |z|^2 = 1\} \mapsto \{z \in \mathbb{C} : |z-4-3i|^2 = 25 \}[/mm]
>
> Zu
> i bin ich so vorgegangen.
>
> [mm]g(-1) = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\ \end{pmatrix} = \frac{-a+b}{c+d}=0\Rightarrow a = b[/mm]
>
>
> [mm]g(1) = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix} = \frac{a+b}{c+d}=\infty \frac{-d}{c}\Rightarrow c = -d[/mm]
>
>
> [mm]g(i) = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} i\\ 1\\ \end{pmatrix} = \frac{ai+b}{ci+d}=-1 \Rightarrow c = -a,d=-b[/mm]
nein. Es ist d=a
>
> Also ist g(z) =
> $g(i) = [mm]\begin{pmatrix} a & a \\ -a & -a \\ \end{pmatrix}$[/mm]
> $
>
> und$g(0)=-1;
Nein. g(0)=1
> Stimmt ?
>
> Zu 2 habe ich keine Idee.
Wähle (geschickt !) jeweils 3 verschiedene Punkte [mm] z_j \in [/mm] $ [mm] \{z \in \mathbb{C} : |z|^2 = 1\} [/mm] $ und [mm] $w_j \in \{z \in \mathbb{C} : |z-4-3i|^2 = 25 \} [/mm] $ und bestimme g so, dass
[mm] g(z_j)=w_j [/mm] (j=1,2,3)
FRED
>
>
> Viele Grüße Nadia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Di 10.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Danke Fred:
Versuche das ganze noch mal:
$ [mm] z_j \in [/mm] $ $ [mm] \{z \in \mathbb{C} : |z|^2 = 1\} \Rightarrow,z_1 [/mm] = [mm] 1,z_2=-i,z_3=-1 [/mm] $ und $ [mm] w_j \in \{z \in \mathbb{C} : |z-4-3i|^2 = 25 \},w_1 [/mm] = [mm] 0,w_2=8,w_3=6i [/mm] $
Ist das eine geschickte Wahl von den Punkten ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Di 10.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke Fred:
>
> Versuche das ganze noch mal:
>
> [mm]z_j \in[/mm] [mm]\{z \in \mathbb{C} : |z|^2 = 1\} \Rightarrow,z_1 = 1,z_2=-i,z_3=-1[/mm]
> und [mm]w_j \in \{z \in \mathbb{C} : |z-4-3i|^2 = 25 \},w_1 = 0,w_2=8,w_3=6i[/mm]
> Ist das eine geschickte Wahl von den Punkten ?
Durchaus
FRED
>
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