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| Aufgabe | Guten Morgen, bei mir hängt es bei dieser Aufgabe: Ich hoffe, die Länge dieser Aufgabe schreckt nicht jeden von euch ab...
Sei $ [mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d }\in Gl_2(\IC [/mm] ) $. Möbiustransformation:
$ [mm] \varphi_A [/mm] : [mm] \IC \cup \{\infty \} \to \IC \cup \{\infty \} [/mm] , [mm] \quad \varphi_A(z):= \begin{cases} \bruch{az+b}{cz+d}, & \mbox{für } z\neq \infty\ \land z\neq -\bruch{d}{c} \\ \infty , & \mbox{für } z=-\bruch{d}{c}\ \\ \infty , & \mbox{für } z=\infty\ \mbox{und } c=0 \\ \bruch{a}{c} , & \mbox{für } z=\infty\ \mbox{und } c\neq 0 \end{cases} [/mm] $
Beweisen soll ich nun, dass $ [mm] \varphi_{AB}=\varphi_{A}\circ \varphi_{B} [/mm] $. |
Also $ [mm] AB=\pmat{ a & b \\ c & d }\pmat{ e & f \\ g & h } [/mm] = [mm] \pmat{ ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh } [/mm] $
[mm] \Rightarrow\ [/mm] $ [mm] \varphi_{AB}(z)= \begin{cases} \bruch{(ae+bg)z+af+bh}{(ce+dg)z+cf+dh}, & \mbox{für } z\neq \infty\ \land z\neq -\bruch{cf+dh}{ce+dg} \\ \infty , & \mbox{für } z=-\bruch{cf+dh}{ce+dg}\ \\ \infty , & \mbox{für } z=\infty\ \mbox{und } ce+dg=0 \\ \bruch{ae+bg}{ce+dg} , & \mbox{für } z=\infty\ \mbox{und } ce+dg\neq 0 \end{cases} [/mm] $
Nun, und $ [mm] \varphi_B(z):= \begin{cases} \bruch{ez+f}{gz+h}, & \mbox{für } z\neq \infty\ \land z\neq -\bruch{h}{g} \\ \infty , & \mbox{für } z=-\bruch{h}{g}\ \\ \infty , & \mbox{für } z=\infty\ \mbox{und } g=0 \\ \bruch{e}{g} , & \mbox{für } z=\infty\ \mbox{und } g\neq 0 \end{cases} [/mm] $
Bei der Verkettung habe ich allerdings Probleme:
Fall 1: $ [mm] \varphi_B(z)= \bruch{ez+f}{gz+h}\neq \infty \quad \Rightarrow \varphi_A\Big(\varphi_B(z)\Big) [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{a\bruch{ez+f}{gz+h}+b}{c\bruch{ez+f}{gz+h}+d}, & \mbox{für } \bruch{ez+f}{gz+h}\neq -\bruch{d}{c} \\ \infty , & \mbox{für } \bruch{ez+f}{gz+h}= -\bruch{d}{c} \end{cases} [/mm] $
Fall 2: $ [mm] \varphi_B(z)= \bruch{e}{g}\neq \infty \quad \Rightarrow \varphi_A\Big(\varphi_B(z)\Big) [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{a\bruch{e}{g}+b}{c\bruch{e}{g}+d}, & \mbox{für } \bruch{e}{g}\neq -\bruch{d}{c} \\ \infty , & \mbox{für } \bruch{e}{g}= -\bruch{d}{c} \end{cases} [/mm] $
Fall 3: $ [mm] \varphi_B(z)= \infty \quad \Rightarrow \varphi_A\Big(\varphi_B(z)\Big) [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{a}{c}, & \mbox{für } c\neq 0 \\ \infty , & \mbox{für } c=0 \end{cases} [/mm] $
Und das ist ja vollkommen abstrus. Könnt ihr mir helfen? Ich verstehe diese Aufgabe auch gar nicht richtig. Vielleicht könnt ihr auch einfach meine Lösungsansätze ignorieren und vielleicht gehe ich auch falsch an die Aufgabe heran?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Di 29.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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