Möbiustransformation 1/z < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Aufgabe 5.11: Zeigen Sie unter Verwendung von Strahlensätzen, dass die Möbiustransformation [mm]f(z) = \bruch{1}{z}[/mm] winkeltreu ist. |
Hey Leute :)
dies war eine Aufgabe die wir im Rahmen eines "Mathe-Vorsemesters" bekamen. Nunja dachte ich, bevor ich jetzt wie wild losrechne und versuche zu zeigen, dass es da irgendwo zwei Verhältnisse gibt die gleich sind versuch ich erstmal mir das bildlich ein wenig vorzustellen. Also GeoGebra angeworfen und drauf los konstruiert.
Anfänglich war meine Idee, zwei beliebige komplexe Zahlen zu wählen, und dann mit Hilfe des Strahlensatzes zu zeigen, dass die Winkel zwischen den beiden komplexen Zahlen und den Bildern der beiden komplexen Zahlen gleich sind. Ich fand allerdings nichts was für mich nach Strahlensatz aussah.
Dann konzentrierte ich mich auf nur eine Zahl und fand:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dadurch, dass ich jeweils rechte Winkel zur reellen Zahlenachse wählte und das Verhältnis [mm]\bruch{a}{a'}[/mm] gleich dem Verhältnis [mm]\bruch{b}{b'}[/mm] blieb, schien [mm] \alpha [/mm] = [mm] \alpha' [/mm] zu folgen.
Dies schien für mich für jede beliege Zahl [mm]z \in \IC[/mm] gelten, weshalb die Transformation winkeltreu wäre.(?) Nach dieser Vorstellung würde ich dann versuchen den Beweis zu führen (dass [mm]\bruch{a}{a'} = \bruch{b}{b'}[/mm]).
Irgendwie kommt mir das aber zu einfach gedacht vor, ich hab das Gefühl ich müsste doch den Winkel zwischen zwei komplexen Zahlen betrachten.
Würde mich also freuen wenn mir jemand sagen könnte ob ich bis hierhin auf dem richtigen weg bin oder ich doch lieber von vorne beginnen sollte 
mfg SpiderSchwein
(Hoffe, dass ich im richtigen Unterforum gelandet bin, habe auf die schnelle kein passenderes gefunden)
(![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Hier das GeoGebra Projekt falls gewünscht.)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: ggb) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Mo 01.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Abbildung f(z) bildet ja nicht einfach z ab, sondern die ganze ebene auf sich. dabei werden Geraden durch ß auf Geraden durch 0 abgebildet, Kreise um 0 auf Kkreise um 0, i.a, Kreise auf Geraden oder Kreise, und umgekehrt.
du sollst nun zeigen, dass das Bild von 2 sich schneidenden Geraden sich unter demselben Winkel schneidet wie die Geraden.
du hast das etwa gezeigt für 2 Geraden, die sich in 0 schneiden, aber nicht allgemein.
Gruss leduart
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Moin,
> du sollst nun zeigen, dass das Bild von 2 sich
> schneidenden Geraden sich unter demselben Winkel schneidet
> wie die Geraden.
Das ergibt schonmal wesentlich mehr Sinn, ich denke jetzt habe ich ne bessere Vorstellung von dem was ich tun soll, danke 
Jetzt ist die Frage: Wie bastel ich mir ne Gerade in der komplexen Zahlenebene? Ich versuchs mal in dem ich auf alt bekanntes zurückgreife:
[mm]f(x) = m \cdot x + b[/mm]
Demzufolge würde ich vielleicht sowas erhalten wie:
[mm]z(x) = x + (m \cdot x + b) \cdot i[/mm] (mit [mm]m, b, x \in \IR)[/mm]
Kann ich das so machen oder denke ich noch zu sehr in den reellen Zahlen?
Außerdem haben wir in der Uni einen Kreis so dargestellt:
[mm]c = \{ z \in \IC : | z - z_{0} | = r \}[/mm]
Könnte ich analog für meine Gerade also schreiben:
[mm]g = \{ z \in \IC : z =x + (m \cdot x + b) \cdot i\}[/mm] (mit [mm]m, b, x \in \IR)[/mm] ?
mfg Spiderschwein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Mo 01.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Jede Gerade und jeder Kreis in [mm] \IC [/mm] kann durch eine Menge der Form
[mm] $M=\{ a|z|^2+bz+\overline{b}\overline{z}+c=0\}$
[/mm]
beschrieben werden, wobei a,c [mm] \in \IR [/mm] , b [mm] \in \IC [/mm] und [mm] |b|^2>ac [/mm] ist.
Ist a=0, so ist M eine Gerade, anderenfalls ein Kreis.
FRED
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