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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Fr 09.12.2005 | | Autor: | kunzm |
Hallo mal wieder,
diese Woche sind die Möbiustransformationen dran und ich bin mir etwas unsicher bezüglich der Herangehensweise. Hier zunächst mal die Aufgabe:
[mm]
\begin{document}
\begin{flushleft}
\textbf{H1} Möbiustransformation\\[12pt]
Seien $\bar{\mathbb{C}}$ $=$ $\mathbb{C}\cup \infty$ sowie $a,b,c,d \in \mathbb{C};\,ad-bc \not=0$ und die
$z\in\mathbb{C}$ "für die es geht"?!\\[12pt]
Weiter sei definiert:
\bc
\large$f:\bar{\mathbb{C}}\rightarrow \bar{\mathbb{C}},\, f(z):=\frac{az+b}{cz+d}$,
\ec
f Möbiustransformation, bijektiv.\\[6pt]
Für $c\not=0$ gilt: $f(-\frac{d}{c}):=\infty$ und $f(\infty):=\frac{a}{b}$.\\
Im Fall $c=0$ gilt: $f(\infty):=\infty$.\\[12pt]
\textbf{a)} Zeige, dass die Möbiustransformationen bezüglich der Hintereinanderausführung von Abbildungen eine
Gruppe bilden. Ist diese Gruppe kommutativ?\\[6pt]
\end{flushleft}
\end{document}
[/mm]
Ich habe mir gedacht, ich wende f explizit mit der gegebenen Definition auf sich selbst an, bilde also [mm]f(f(z))[/mm], das ergibt dann aber eine ziemliche Rechnerei. Daher wollte ich zunächst mal fragen ob das überhaupt Sinn ergibt. Also, egibt das Sinn?
Wie immer ein großes Dankeschön vorab, Martin.
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Es reicht nicht, [mm]f \circ f[/mm] zu berechnen. Du mußt das mit zwei Möbiustransformationen [mm]f_1,f_2[/mm] durchführen und nachweisen, daß die Komposition wieder vom angegebenen Typ ist.
Ein Tip: Wenn man einer invertierbaren komplexen Matrix
[mm]M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}[/mm]
die Möbiustransformation
[mm]\tilde{M}(z) = \frac{az+b}{cz+d}[/mm]
zuordnet, dann ist die Abbildung
[mm]M \mapsto \tilde{M}[/mm]
ein Gruppenepimorphismus. Das bedeutet, daß dem Produkt der Matrizen die Komposition der Möbiustransformationen entspricht.
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