Moivre / binomischen Lehrsatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi ich habe ne ganz tolle Aufgabe wo ich keinen Plan habe:
Gegeben: z= 2 (cos (-pi/4)+ i sin (-pi/4))
Gesucht:
i) berechne z hoch 5 ohne Anwendung der karthesischen Koordinaten
ii) Umrechnung in karthesische Koordinaten und z hoch 5 mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes berechnen
Ich glaube Moivre hat was damit zutun bzw. die Eulersche formel
Kann jemand weiterhelfen???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Knuddel,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> i) berechne z hoch 5 ohne Anwendung der karthesischen
> Koordinaten
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> Ich glaube Moivre hat was damit zutun bzw. die Eulersche
> formel
Moivre klingt doch schon mal sehr gut ...
Es gilt ja: $z \ = \ [mm] r*\left[\cos(\varphi) + i*\sin(\varphi)\right]$
[/mm]
Damit gilt dann Moivre: [mm] $z^n [/mm] \ = \ [mm] r^n*\left[\cos(n*\varphi) + i*\sin(n*\varphi)\right]$
[/mm]
Hier brauchst Du ja "nur einsetzen" :
$r \ = \ 2$ sowie [mm] $\varphi [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{\pi}{4}$ [/mm] sowie $n \ = \ 5$
> ii) Umrechnung in karthesische Koordinaten und z hoch 5
> mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes berechnen
Für die Umrechnung in die karthesische Darstellung $z \ = \ x+i*y$ gilt:
$z \ = \ [mm] r*\left[\cos(\varphi) + i*\sin(\varphi)\right] [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{r*\cos(\varphi)}_{= \ x} [/mm] \ + \ [mm] i*\underbrace{r*\sin(\varphi)}_{= \ y}$
[/mm]
Damit gilt ja: [mm] $z^5 [/mm] \ = \ (x + [mm] i*y)^5 [/mm] \ = \ ...$
Und das soll nun mit dem binomischen Lehrsatz berechnet werden:
[mm] $(a+b)^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}*a^{n-i}*b^i [/mm] \ = \ [mm] a^n [/mm] \ + \ [mm] \vektor{n \\ 1}*a^{n-1}*b [/mm] \ + \ [mm] \vektor{n \\ 2}*a^{n-2}*b^2 [/mm] \ + \ ... \ + \ [mm] b^n$
[/mm]
Siehe auch mal hier: ![[]](/images/popup.gif) "Rechnen mit komplexen Zahlen"
Gruß vom
Roadrunner
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danke dir.
also müsste i) [mm] z^5 [/mm] = 32 (cos [mm] 5(\pi/4) [/mm] + i sin [mm] 5(\pi/4)) [/mm] sein oder kann man das noch kürzen ?
zu II) x= 2 * [mm] cos(\pi/4) [/mm] = ca. 2 ?? y= 2 * [mm] sin(\pi/4) [/mm] ca. 0 ??
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Hallo Knuddel!
> also müsste i) [mm]z^5[/mm] = 32 (cos [mm]5(\pi/4)[/mm] + i sin [mm]5(\pi/4))[/mm]
> sein oder kann man das noch kürzen ?
Kürzen kann man hier nicht mehr, aber Du hast hier die Minuszeichen bei den Winkeln unterschlagen.
Wo sind diese denn abgeblieben?
> zu II) x= 2 * [mm]cos(\pi/4)[/mm] = ca. 2 ?? y= 2 * [mm]sin(\pi/4)[/mm] ca. 0 ??
Na-na-na ...
Das kann man aber noch genauer bestimmen, zumal diese Abschätzungen nicht gerade genau -um nicht zu sagen falsch- sind.
Tipp' das doch mal in Deinen Taschenrechner ein!
Auch hier fehlen die Minuszeichen, schließlich gilt ja: [mm] $\varphi [/mm] \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{\pi}{4}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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ja klar hast recht bei i) fehlen die Minuszeichen
bei ii) weiß ich nicht so recht x= 2 cos [mm] (\pi/4) [/mm] = 1,9998121 ???
y= 2 sin [mm] (\pi/4) [/mm] = -0,02741...??? kann das jetzt stimmen bzw. genauer sein?
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Hallo Knuddel!
> bei ii) weiß ich nicht so recht x= 2 cos [mm](\pi/4)[/mm] =
> 1,9998121 ???
> y= 2 sin [mm](\pi/4)[/mm] = -0,02741...??? kann das jetzt stimmen
> bzw. genauer sein?
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Hast Du Deinen Taschenrechner auch auf Bogenmaß ("RAD" bzw. "R") eingestellt?
Dann sollte nämlich herauskommen:
$x \ = \ [mm] 2*\cos\left(-\bruch{\pi}{4}\right) [/mm] \ = \ [mm] 2*\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{2}$
[/mm]
$y \ = \ [mm] 2*\sin\left(-\bruch{\pi}{4}\right) [/mm] \ = \ [mm] 2*\left(-\bruch{\wurzel{2}}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] -\wurzel{2}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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ich Brot natürlich nicht, jetzt bekomme ich auch [mm] \wurzel{2} [/mm] raus
also
[mm] z^5 [/mm] = [mm] (\wurzel{2} [/mm] + i [mm] -\wurzel{2})
[/mm]
= [mm] \vektor{5 \\ 0} \wurzel{2}^5 [/mm] * [mm] -\wurzel{2}^0 [/mm] + [mm] \vektor{5 \\ 1} \wurzel{2}^4 [/mm] * [mm] -\wurzel{2}^1 [/mm] + [mm] \vektor{5 \\ 2} \wurzel{2}^3 [/mm] * [mm] -\wurzel{2}^2 [/mm] + [mm] \vektor{5 \\ 3} \wurzel{2}^2 [/mm] * [mm] -\wurzel{2}^3 [/mm] + [mm] \vektor{5 \\ 4} \wurzel{2}^1 [/mm] * [mm] -\wurzel{2}^4 [/mm] + [mm] \vektor{5 \\ 5} \wurzel{2}^0 [/mm] * [mm] -\wurzel{2}^5
[/mm]
müsste der Spaß dann so aussehen? (hab die i´s vergessen)
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Hallo Knuddel!
> ich Brot natürlich nicht, jetzt bekomme ich auch
> [mm]\wurzel{2}[/mm] raus
Fein ...
> [mm]z^5[/mm] = [mm](\wurzel{2}[/mm] + i [mm]-\wurzel{2})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Besser auch noch Klammern setzen und Potenz [mm] $(...)^5$ [/mm] schreiben:
[mm] $z^5 [/mm] \ = \ [mm] \left[\wurzel{2} + \left(-i*\wurzel{2}\right)\right]^5$
[/mm]
> = [mm]\vektor{5 \\ 0} \wurzel{2}^5[/mm] * [mm]-\wurzel{2}^0[/mm] + [mm]\vektor{5 \\ 1} \wurzel{2}^4[/mm] * [mm]-\wurzel{2}^1[/mm] + [mm]\vektor{5 \\ 2} \wurzel{2}^3[/mm] * [mm]-\wurzel{2}^2[/mm] + [mm]\vektor{5 \\ 3} \wurzel{2}^2[/mm] * [mm]-\wurzel{2}^3[/mm] + [mm]\vektor{5 \\ 4} \wurzel{2}^1[/mm] * [mm]-\wurzel{2}^4[/mm] + [mm]\vektor{5 \\ 5} \wurzel{2}^0[/mm] * [mm]-\wurzel{2}^5[/mm]
Prinzipiell scheint mir das richtig zu sein! Aber auch hier noch Klammern setzen [mm] $\left(-\wurzel{2}\right)^{...}$.
[/mm]
Außerdem solltest Du die ganzen $i_$ nicht vernachlässigen, da Du ja noch die ganzen Potenzen berechnen musst und anschließend zusammenfassen:
[mm] $i^1 [/mm] \ = \ i$
[mm] $i^2 [/mm] \ = \ -1$
[mm] $i^3 [/mm] \ = \ [mm] i*i^2 [/mm] \ = \ i*(-1) \ = \ -i$ usw.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Di 20.09.2005 | | Autor: | Knuddel08 |
Thx, war ja doch ganz schön einfach.
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