Momentane Änderungsrate < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f(x)=\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3} [/mm]
[mm] x_{0}=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Was ist die momentane Änderungsrate im Punkt [mm] x_{0}=-\bruch{1}{2} [/mm] ? |
Guten Tag, ich bin mir grad unsicher wie man diese Aufgabe löst, ohne abzuleiten. Ich kenne folgende Möglichkeiten zur Lösung:
1) Differenzialquotienten bilden und nachdem soweit wie es geht eingesetzt und zusammengefasst wurde => Polynomdivision
2) Differenzialquotienten bilden und nachdem soweit es geht eingesetzt und zusammengefasst wurde => Ausklammern / Faktorisieren / Kürzen (das klappt aber soweit ich weiß nur bei quadratischen Gleichungen ?)
3) Ableitung
meine Lösungen:
1) Ich bekomme einen Rest bei der Polynomendivision und komme somit auf kein Ergebnis
Dividend: [mm] \bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{11}{48}
[/mm]
Divisor: [mm] x+\bruch{1}{2}
[/mm]
2) Ich komme nach dem zusammenfassen nicht weiter, mein Differenzialquotient sieht folgendermaßen aus:
[mm] \bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{11}{48}}{x+\bruch{1}{2}}
[/mm]
Ich sehe keinen gemeinsamen Faktor den ich ausklammern könnte. Ich sehe auch kein Binom (Ausgang aus einer binomischen Formel).
3) Durch das Ableiten bekomme ich folgendes:
[mm] f(x)=\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] m=\bruch{1}{2}*(-\bruch{1}{2})^{2}-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] m=-\bruch{3}{8}
[/mm]
Falls mir kein Fehler unterlaufen ist, dann ist die Änderungsrate im Punkt [mm] x_{0} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{8} [/mm] und gefordert wird, dass ich auf das Ergebnis komme, ohne abzuleiten. Wie geht sowas?
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> [mm]f(x)=\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]x_{0}=-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Was ist die momentane Änderungsrate im Punkt
> [mm]x_{0}=-\bruch{1}{2}[/mm] ?
> Guten Tag, ich bin mir grad unsicher wie man diese Aufgabe
> löst, ohne abzuleiten. Ich kenne folgende Möglichkeiten
> zur Lösung:
>
> 1) Differenzialquotienten bilden und nachdem soweit wie es
> geht eingesetzt und zusammengefasst wurde => Polynomdivision ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Hast du hier jetzt wirklich Differenzialquotienten (also
Ableitungen !) gemeint oder Differenzenquotienten ?
(das ist nämlich nicht dasselbe !)
> 2) Differenzialquotienten bilden und nachdem soweit es geht
> eingesetzt und zusammengefasst wurde => Ausklammern /
> Faktorisieren / Kürzen (das klappt aber soweit ich weiß
> nur bei quadratischen Gleichungen ?)
Du meinst wieder Differenzenquotienten ! Und die
Methode sollte auch bei der vorliegenden kubischen
Funktion funktionieren. Sie läuft darauf hinaus, die
gesuchte Ableitung durch Grenzwertrechnung zu
ermitteln.
> 3) Ableitung
>
> meine Lösungen:
>
> 1) Ich bekomme einen Rest bei der Polynomendivision und
> komme somit auf kein Ergebnis
>
> Dividend: [mm]\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{11}{48}[/mm]
woher hast du denn den Bruch [mm] $\bruch{11}{48}$ [/mm] ??
> Divisor: [mm]x+\bruch{1}{2}[/mm]
>
> 2) Ich komme nach dem zusammenfassen nicht weiter, mein
> Differenzialquotient sieht folgendermaßen aus:
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{11}{48}}{x+\bruch{1}{2}}[/mm]
Dies ist jedenfalls kein Differenzialquotient !
> Ich sehe keinen gemeinsamen Faktor den ich ausklammern
> könnte. Ich sehe auch kein Binom (Ausgang aus einer
> binomischen Formel).
>
> 3) Durch das Ableiten bekomme ich folgendes:
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]m=\bruch{1}{2}*(-\bruch{1}{2})^{2}-\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]m=-\bruch{3}{8}[/mm]
>
> Falls mir kein Fehler unterlaufen ist, dann ist die
> Änderungsrate im Punkt [mm]x_{0}[/mm] = [mm]-\bruch{3}{8}[/mm] und
> gefordert wird, dass ich auf das Ergebnis komme, ohne
> abzuleiten. Wie geht sowas?
Wenn du die (richtige) Polynomdivision
$\ [mm] \left(\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3}\right)\ [/mm] :\ [mm] \left(x\,+\,\frac{1}{2}\right)\ [/mm] =\ q(x)\ +\ [mm] \frac{Rest}{x\,+\,\frac{1}{2}}$
[/mm]
richtig durchführst, erhältst du eine Funktion q mit $\ q [mm] \left(-\frac{1}{2}\right)\ [/mm] =\ [mm] f'\left(-\frac{1}{2}\right)$
[/mm]
LG , Al-Chwarizmi
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Hi! Danke, irgendwas scheint schiefgelaufen zu sein.
Fangen wir an:
Unter einem Differenzenquotient verstehe ich folgendes:
[mm] \bruch{\Delta y}{\Delta x}
[/mm]
Unter einem Differenzialquotienten verstehe ich folgendes:
[mm] \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
Demnach bin ich davon ausgegangen dass mein Differenzialquotient folgendermaßen aussieht:
[mm] \bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3}-(\bruch{1}{6}(-\bruch{1}{2})^{3}-\bruch{1}{2}*(-\bruch{1}{2})-\bruch{1}{3})}{x-(-\bruch{1}{2})}
[/mm]
also:
[mm] \bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3}-(-\bruch{5}{84})}{x+\bruch{1}{2}}
[/mm]
also:
[mm] \bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{11}{48}}{x+\bruch{1}{2}}
[/mm]
Vertue ich mich ?
Zur Polynomdivision: Sie haben nun ( f(x) ) : [mm] (x-x_{o}) [/mm] berechnet, ich verstehe nicht ganz warum das erlaubt ist ?
Und nochetwas: Durch das Anwenden der h-Methode kann ich die Aufgabe lösen und komme tatsächlich auf die Steigung [mm] -\bruch{3}{8} [/mm] - Verlangt wird aber von unserem Lehrer die Lösung unter Berücksichtigung der h-Methode und mit dem Differenzialquotienten / Polynomendivision - allerdings OHNE Ableitung.
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> Unter einem Differenzenquotient verstehe ich folgendes:
>
> [mm]\bruch{\Delta y}{\Delta x}[/mm]
>
> Unter einem Differenzialquotienten verstehe ich folgendes:
>
> [mm]\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Dies ist immer noch derselbe Differenzenquotient, nur
eben ausführlicher notiert. Erst wenn man den Grenzwert
davon für $\Delta x \to 0$ bzw. für $\ x \to x_0$ gebildet hat,
hat man den Differentialquotient . Dieser ist also dann
identisch mit der Ableitung der Funktion an der Stelle x_0 :
$\limes_{x\to x_0}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\ =\ f'(x_0)\ =\ \left{ \frac{dy}{dx}} \right{|}_{x=x_0}$
> Demnach bin ich davon ausgegangen dass mein
> Differenzialquotient folgendermaßen aussieht:
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3}-(\bruch{1}{6}(-\bruch{1}{2})^{3}-\bruch{1}{2}*(-\bruch{1}{2})-\bruch{1}{3})}{x-(-\bruch{1}{2})}[/mm]
>
> also:
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3}-(-\bruch{5}{84})}{x+\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> also:
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{11}{48}}{x+\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Vertue ich mich ?
Nein, soweit ist es richtig (man muss nur wissen, dass dies
jetzt eben der Differenzenquotient [mm] $\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$
[/mm]
für die gegebene Funktion f und für $\ [mm] x_0\ [/mm] =\ [mm] -\bruch{1}{2}$ [/mm] ist ).
>
> Zur Polynomdivision: Sie haben nun ( f(x) ) : [mm](x-x_{o})[/mm]
> berechnet, ich verstehe nicht ganz warum das erlaubt ist ?
Um ausgehend von dem Differenzenquotienten
[mm]\bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{11}{48}}{x+\bruch{1}{2}}[/mm]
weiterzurechnen, kannst du ja ebenfalls Polynomdivision
durchführen, und da schon klar ist, dass das eingesetzte [mm] x_0=\bruch{1}{2}
[/mm]
eine Nullstelle von [mm] p(x)=f(x)-f(x_0) [/mm] ist, muss diese
Polynomdivision auch ohne Rest "aufgehen". Das
Ergebnis ist übrigens:
[mm]\bruch{\bruch{1}{6}x^{3}-\bruch{1}{2}x-\bruch{11}{48}}{x+\bruch{1}{2}}\ =\ \bruch{1}{6}x^{2}-\bruch{1}{12}x-\bruch{11}{24}\ =:\ q(x)[/mm]
> Und nochetwas: Durch das Anwenden der h-Methode kann ich
> die Aufgabe lösen und komme tatsächlich auf die Steigung
> [mm]-\bruch{3}{8}[/mm] - Verlangt wird aber von unserem Lehrer die
> Lösung unter Berücksichtigung der h-Methode und mit dem
> Differenzialquotienten DIFFERENZEN-Quotient (!) / Polynomendivision - allerdings
> OHNE Ableitung.
Er meint vermutlich, dass man keine Ableitungsformeln wie
z.B. $\ [mm] (x^3)'\ [/mm] =\ [mm] 3\,x^2$ [/mm] verwenden soll.
Den gesuchten Ableitungswert [mm] f'(x_0) [/mm] erhältst du nun,
wenn du einfach [mm] q(x_0) [/mm] berechnest (für das oben angegebene
quadratische Polynom q(x) ! ) .
LG , Al-Chw.
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Dankeschön für die Mühe, ich werde nun versuchen das alles zu verstehen. Offensichtlich habe ich irgendeinen Schritt noch nicht so verinnerlicht oder etwas verwechselt. Danke nochmal
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