Momenterzeugende Funktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 04:54 Do 16.07.2015 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | Ich habe zu [mm] $X_1,\ldots,X_n$ [/mm] iid [mm] $\sim$Exp$(\lambda)$ [/mm] verteilten ZV für [mm] $\lambda>0$ [/mm] unbekannt definiert: [mm] $Y:=n\bar{X}$.
[/mm]
1. Zeige [mm] $Y\sim\Gamma(n,\frac{1}{\lambda})$
[/mm]
2. Zeige [mm] $E[\frac{1}{Y}]=\frac{\lambda}{n-1}$. [/mm] |
Guten Abend,
ich beschäftige mich derzeit mit einer Aufgabe, in der oben genanntes als Zwischenschritte gezeigt werden müssen.
1. War kein Problem, mittels momenterzeugender Funktion. Hier erhalte ich:
[mm] $$M_Y(t)=\frac{1}{(1+\frac{1}{\lambda}t)^n}$$
[/mm]
Bei 2. weiß ich nun nicht so genau weiter. Da die Ableitungen der momenterzeugenden Funktionen ausgewertet bei 0 ja die Momente angeben, hatte ich mir gedacht, dass man durch bilden der Stammfunktion der momenterzeugenden Funktion auf [mm] $E[Y^{-1}]$ [/mm] kommt. Hier komme ich auch auf das richtige Ergebnis, aber ich verstehe nicht, warum das so ist, bzw. ob ich das so machen kann/darf bzw. ob das sinnvoll ist.
Ich würde mich sehr über Rückmeldung freuen.
Liebe Grüße
Der Baum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Do 16.07.2015 | | Autor: | DerBaum |
Also ich weiß jetzt wie ich sinnvoller auf das Ergebnis komme. und zwar mit der Dichte von Y. Hätte ich auch gestern schon drauf kommen können :D
Aber es würde mich trotzdem interessieren, ob das jetzt nur Zufall war, ob das mit der momenterzeugenden Funktion geklappt hat, oder ob das irgendeine allgemeine Gültigkeit hat?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:20 Sa 18.07.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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