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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Mo 06.01.2014 | | Autor: | lapeiluw |
| Aufgabe | "Die Uhr als Monoid"
Sei [mm] C_{12} := ( \underline{12}, +_{12}, 0) [/mm] mit
[mm] x +_{12} y :=\left\{\begin{matrix}
x + y, & \mbox{falls }x + y < 12 \\
x + y - 12, & \mbox{sonst }
\end{matrix}\right. [/mm]
(a) Bestimme zu [mm] x \in \underline{12} [/mm] das Inverse in [mm] C_{12} [/mm]
(b) Sind [mm] x, y, z \in \underline{12} [/mm] und [mm] t := x + y + z \in\IN [/mm], so begründe:
[mm] (x +_{12} y) +_{12} z =\left\{\begin{matrix}
t & \mbox{falls }t < 12 \\
t - 12 & \mbox{falls }12 \le t \le 24 \\
t - 24 & \mbox{sonst. }
\end{matrix}\right. [/mm]
Folgere hieraus das Assoziationsgesetz für [mm] +_{12} [/mm] |
Also ich bin bei (b).
Das Prinzip ist klar, also dass es diesmal 3 Fälle gibt, ist logisch, da wie auch notiert, da [mm] t \mbox{ 1. } < 12, \mbox{ 2. } 12 \le t < 24, \mbox{ 3. } \le 24 [/mm] sein kann, und unsere "Uhr"/unsere Menge des Monoids nur bis 11 geht.
Dementsprechend, würden bei 4 Elementen noch ein 4. Fall dazukommen [mm] < 36 [/mm] usw. Das ist klar. Nur wie begründe ich das mathematisch. Einen Kreis aufzeichnen, wird ja sicher nicht zählen ;)
Ich habe erst überlegt, den Term [mm] (x +_{12} y) [/mm] durch eine neue Variable zu ersetzen bspw. [mm] w [/mm] um nur 2 Variable zu haben und mit der Vorgabe umgehen zu können. Nur stoße ich da schon ganz zu Anfang an Probleme, da ja schon die Variable [mm] w < 12 [/mm] oder [mm] \le 12 [/mm] sein kann. Irgendwie hilft mir das also nicht wirklich weiter...
Also ich brauche einen Tipp für die Herangehensweise an diesen Beweis.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 Mo 06.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst die Fälle x+y<12 und [mm] \ge [/mm] 12 getrennt behandeln. ob du dafür ein w einführst ist egal.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Di 07.01.2014 | | Autor: | lapeiluw |
Naja, das mit der Fallunterscheidung war mir schon klar, aber wie ich das konkret angehen kann ist mir unklar.
Ich hab mal versucht aufzuschreiben, wie ich es machen würde und danach folgen meine Fragen dazu:
1. Fall [mm] x + y < 12, [/mm] Einführung von [mm] w := x + y [/mm]
Beweis 1. Fall
[mm] (x +_{12} y) +_{12} z = (x + y) +_{12} z =
w +_{12} z =\left\{\begin{matrix}
w + z & \mbox{falls } w + z < 12 \\
w + z - 12, & \mbox{falls }sonst.
\end{matrix}\right. [/mm]
2. Fall [mm] x + y \ge 12, [/mm] Einführung von [mm] v := x + y - 12 [/mm]
Beweis 2. Fall
[mm] (x +_{12} y) +_{12} z = (x + y - 12) +_{12} z =
v +_{12} z =\left\{\begin{matrix}
v + z & \mbox{falls } v + z < 12 \\
v + z - 12, & \mbox{falls }sonst.
\end{matrix}\right. [/mm]
[mm] \longrightarrow [/mm] 1. Fall [mm] w + z = x + y + z = t [/mm],
2. Fall [mm] w + z - 12 = x + y + z - 12 = t - 12 [/mm],
3. Fall [mm] v + 12 = x + y - 12 + z = t - 12 = \mbox{2. Fall} [/mm],
4. Fall [mm] v + z - 12 = x + y - 12 + z - 12 = t - 24 [/mm]
was m.E. unsauber aussieht, ist, wie ich jetzt in den 2. = 3. Fall die Bedingung [mm] 12 \le t \le 12 [/mm] sauber reinbekomme und für den 4. Fall [mm] t \ge 24 [/mm].
Ist der Beweis, so wie ich ihn führe, denn formal korrekt? Kann man das so schreiben?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Di 07.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Fall t<12 folgt x+y<12 folgt (x+y)+z=x+y+z=x+(y+z)
2. fall [mm] 12\le t\le [/mm] 24
a) x+y<12
x+y+z=(x+y)+z-12=x+y+z-12 => t=t-12
[mm] b)x+y\ge [/mm] 12 x+y=x+y-12 x+y+z=x+y-12+z=x+y+z-12=> t =t-12
entsprechend für t>24
dazu muß x+y>12 oder x+z>12 oder y+z>12
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Di 07.01.2014 | | Autor: | lapeiluw |
ok, danke...
hm das heißt, meine Form des Beweisführens funktioniert so nicht?
ich würde mich auch über einen Kommentar zu meinem Versuch freuen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Di 07.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
siehe meine andere Antwort
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Di 07.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch bitte drüber für welche t du gerade arbeitest-
0 ter Fall t<12 klar, da x+y<=x+_{12} y und damit w+z=w+_{12}=> t=t
1. Fall [mm] 12\le [/mm] t ˜ le 24
> 1.1 Fall [mm]x + y < 12,[/mm] Einführung von [mm]w := x + y[/mm]
>
> Beweis 1.1 Fall
wegen x+y=x+_{12} y
> [mm](x +_{12} y) +_{12} z = (x + y) +_{12} z =
w +_{12} z =\left\{\begin{matrix}
w + z & \mbox{falls } w + z < 12 \\
w + z - 12, & \mbox{falls }sonst.
\end{matrix}\right.[/mm]
dahinter sollte dann das Ergebnis für t
>
> 2. Fall [mm]x + y \ge 12,[/mm] Einführung von [mm]v := x + y - 12[/mm]
>
> Beweis 2. Fall
> [mm](x +_{12} y) +_{12} z = (x + y - 12) +_{12} z =
v +_{12} z =\left\{\begin{matrix}
v + z & \mbox{falls } v + z < 12 \\
v + z - 12, & \mbox{falls }sonst.
\end{matrix}\right.[/mm]
>
wieder richtig, noch auf w übertragen
> [mm]\longrightarrow[/mm] 1. Fall [mm]w + z = x + y + z = t [/mm],
>
> 2. Fall [mm]w + z - 12 = x + y + z - 12 = t - 12 [/mm],
>
> 3. Fall [mm]v + 12 = x + y - 12 + z = t - 12 = \mbox{2. Fall} [/mm],
>
> 4. Fall [mm]v + z - 12 = x + y - 12 + z - 12 = t - 24[/mm]
>
> was m.E. unsauber aussieht, ist, wie ich jetzt in den 2. =
> 3. Fall die Bedingung [mm]12 \le t \le 12[/mm] sauber reinbekomme
> und für den 4. Fall [mm]t \ge 24 [/mm].
> Ist der Beweis, so wie ich
> ihn führe, denn formal korrekt? Kann man das so
> schreiben?
Sas ist alles richtig, aber einfacher zu lesen wenn du die 3 Fälle für t einzeln betrachtest und dabei ja nur für den Fall 12<t<24 eine Fallunterscheidung brauchst und dein v oder w benutzen kannst
wie du es aufschreibst ist zwar nicht falsch, aber sehr undurchsichtig.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Do 09.01.2014 | | Autor: | lapeiluw |
Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen. Habe nun eine, ich denke, klare und verständliche Lösung!
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