Monoide und Einheitengruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Fr 04.12.2009 | | Autor: | RomyM |
| Aufgabe |
In der Menge der ganzen Zahlen sei eine Multiplikation mit n*m := n+m - nm definiert.
Man zeige, dass (Z,*) ein Monoid ist und bestimme die Einheitengruppe von (Z,*)
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Hey, ich hätte folgende Aufgabe, bei der ich leider nicht weiterkomme :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
wäre schön, wenn mir dabei jemand helfen könnte, vielen dank schonmal, Lg Romy
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Hiho,
> Hey, ich hätte folgende Aufgabe, bei der ich leider nicht
> weiterkomme :(
wo kommst du denn nicht weiter? Wo sind deine Ansätze?
Ein guter Anfang wäre immer das Aufschreiben der in einer Aufgabe vorkommenden Definitionen und sich zu überlegen, was zu zeigen ist.
Was ist denn hier zu zeigen?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:51 Sa 05.12.2009 | | Autor: | RomyM |
Guten Morgen,
danke für die schnelle Antwort.
Mein Problem liegt eigentlich schon ganz am Anfang, denn wir hatten in der Vorlesung leider nur ein bisschen Theorie zu Monoiden und ich hab keine richtige Ahnung wie ich das bei dieser Aufgabe anwenden soll.. :(
Ich habe mir zu der Aufgabe gedacht, dass n*m = 1 sein muss, da sonst diese Gleichung für ganze Zahlen ja nicht gelten kann.
Die Definition eines Monoides besagt ja, dass ein Monoid aus einer Menge, einer Verknüpfung (in diesem Fall Multiplikation) und einem neutralen Element (also die eins e) besteht und das müsste man hier sicherlich nachweisen.
liebe Grüße,
Romy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hast du nun noch eine Frage dazu, wenn ja, dann mach das bitte auch kenntlich.
Als Info für dich: Monoid = Nichtleere Menge, assoziative Verknüpfung darauf und es existiert ein neutrales Element e.
Zeige also: Menge nicht leer, Verknüpfung assoziativ und es existiert ein Neutrales Element (für das muss was gelten)
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 So 06.12.2009 | | Autor: | RomyM |
Ok, dankeschön.
also muss ich eigentlich nur die genannten Eigenschaften eines Monoides für n+m -nm zeigen? Hast du nicht noch die Eigentschaft des Inversen vergessen oder muss das nicht zwingend für Monoide gelten?
Lg, Romy
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Hallo RomyM,
> Ok, dankeschön.
>
> also muss ich eigentlich nur die genannten Eigenschaften
> eines Monoides für n+m -nm zeigen?
Besser gesagt: für [mm] $(\IZ,\star)$ [/mm] mit der Verknüpfung [mm] $\star:\IZ\times\IZ\to\IZ:(n,m)\mapsto [/mm] n+m-nm$
> Hast du nicht noch die
> Eigentschaft des Inversen vergessen oder muss das nicht
> zwingend für Monoide gelten?
Nein, für Monoide nicht, gäbe es zu jedem Element gar ein Inverses, so wäre der Monoid schon eine Gruppe. Das ist also mehr als hier erforderlich ...
Also leg mal endlich los und prüfe die o.e. Eigenschaften, kannst ja die Rechnungen hier posten, wie schauen dann gerne drüber.
Nun aber Gas ... 
>
> Lg, Romy
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:36 So 06.12.2009 | | Autor: | RomyM |
Ok ;)
also hier mein Versuch der Lösung:
1) nichtleere Menge:
ist erfüllt, da Menge der ganzen Zahlen Z [mm] \not= \emptyset
[/mm]
2) assoziative Verknüpfung
erfüllt, denn n + (m-nm) = (n + m) - nm
Beispiel: sei n=2 und m=5 :
2+(5-10)=-3=(2+5)-10 w.A.
3) neutrales Element
[mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] Z: e * (n+m-nm) = (n+m-nm) * e = n+m-nm
[mm] \Rightarrow [/mm] alle Eigentschaften eines Monoides sind für (Z, *) erfüllt
Allerdings weiß ich noch nicht so richtig, was ich alles zur Einheitengruppe schreiben soll. Eine Einheitengruppe ist ja die Menge aller invertierbaren Elemente.. Gilt das nicht für alle n und m´s außer der 0?
Lg, Romy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 So 06.12.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
und schon wieder keine Frage.
1.) ist ok.
2.) Du zeigst hier nicht die Assoziativität von [mm] $n\*m$, [/mm] denn dafür müsstest du zeigen: [mm] $(n\*m)\*k [/mm] = [mm] $n\*(m\*k)$.
[/mm]
Was du da machst, ist die Assoziativität der Adddition, die kennen wir ja aber schon......
3.) Hier tust du auch komische Dinge..... du hast anscheinend nicht wirklich verstanden, wie man Assoziativität noch ein neutrales Element zeigt..... hier wäre zu zeigen, dass es ein $e$ gibt, so dass
[mm] $n\*e [/mm] = [mm] e\*n [/mm] = n$ für ALLE $n [mm] \in \IZ$ [/mm] gibt. Am einfachsten ist das, wenn man eine Idee für dieses $e$ hat. Welche Zahl könnte das denn sein?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 So 06.12.2009 | | Autor: | RomyM |
Hm, also müsste ich zeigen, dass
zu 2)
[mm] \forall [/mm] n, m [mm] \in [/mm] Z [mm] \exists [/mm] k [mm] \in [/mm] Z: (n*m)*k = n*(m*k)
gilt?
und für 3)
n*e=e*n=n für e=1 erfüllt
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] Z
und dasselbe auch für [mm] \forall [/mm] m [mm] \in [/mm] Z, oder? also: m*e=e*m=m für e=1
lg
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Hallo nochmal,
> Hm, also müsste ich zeigen, dass
>
> zu 2)
> [mm]\forall[/mm] n, m [mm]\in[/mm] Z [mm]\exists[/mm] k [mm]\in[/mm] Z: (n*m)*k = n*(m*k)
> gilt?
Ja, mache das mal, rechne es geradeheraus aus mit der Definition von [mm] "$\star$"
[/mm]
>
> und für 3)
> n*e=e*n=n für e=1 erfüllt
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in[/mm] Z ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und dasselbe auch für [mm]\forall[/mm] m [mm]\in[/mm] Z, oder? also:
> m*e=e*m=m für e=1
$e=1$ tut's doch wohl kaum, oder?
Es ist für bel. [mm] $m\in\IZ$: $m\star 1=m+1-m\cdot{}1=1\neq [/mm] m$
Also überlege nochmal, was wohl das neutrale Element bzgl. [mm] $"\star"$ [/mm] sein kann ...
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 So 06.12.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
> Hallo nochmal,
>
> > Hm, also müsste ich zeigen, dass
> >
> > zu 2)
> > [mm]\forall[/mm] n, m [mm]\in[/mm] Z [mm]\exists[/mm] k [mm]\in[/mm] Z: (n*m)*k = n*(m*k)
> > gilt?
>
> Ja, mache das mal, rechne es geradeheraus aus mit der
> Definition von "[mm]\star[/mm]"
Naja, eigentlich müsste sie ja zeigen: [mm]\forall n, m \in Z \forall k \in Z[/mm]
und nicht nur:
[mm]\forall[/mm] n, m [mm]\in[/mm] Z [mm]\exists[/mm] k [mm]\in[/mm] Z
Aber nur als Anmerkung für weitere Antworten
MFG,
Gono.
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Hallo Gono,
hast natürlich recht, ich hatte gar nicht auf die Quantoren geschaut.
Das kommt davon, wenn man nur "überfliegt" - ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
LG
schachuzipus
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