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| Aufgabe | $A$ sei ein kommutativer Ring, $G$, $G'$ seien multiplikative Monoide und [mm] $\varphi\colon G\longrightarrow [/mm] G'$ sei ein Monoid-Homomorphismus. Dann existiert ein eindeutiger Ringhomomorphismus [mm] $h\colon A[G]\longrightarrow [/mm] A[G']$, sodass [mm] $h(x)=\varphi(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] G$ und $h(a)=a$ für alle [mm] $a\in [/mm] A$. $A[G]$ bezeichnet hierbei den ![[]](/images/popup.gif) Monoidring über $A$. |
Hallo,
Es ist ja klar, dass [mm] $h\colon A[G]\longrightarrow [/mm] A[G']$ gegeben sein muss durch [mm] $\sum_x a_x x\longmapsto\sum_x a_x \varphi(x)$; [/mm] das reicht auch um $h$ zu definieren, da ich jedes Element in $A[G]$ eindeutig auf diese Weise schreiben kann. Dass $h$ ein Homomorphismus in Bezug auf die additive Struktur von $A[G]$ und $A[G']$ ist, ist auch klar.
Wenn ich mir Multiplikation angucke, wäre es ja schön, einfach zu schreiben:
[mm] $h((\sum_x a_x x)(\sum_y b_y y))=h(\sum_{x,y}a_xb_y xy)=\sum_{x,y}a_xb_y\varphi(xy)=\sum_{x,y}a_xb_y\varphi(x)\varphi(y)=(\sum_x a_x\varphi(x))(\sum_x b_y\varphi(y)=h(\sum_x a_x x)h(\sum_y b_y [/mm] y)$.
Aber weil ich $h$ ja nur für Summen der Form [mm] $\sum_x a_x [/mm] x$ definiert habe, ist das mit diesen Doppelindizes etwas unsauber, darum würde ich gerne
[mm] h(\sum_z(\sum_{xy=z}a_xb_y) z)=h(\sum_x a_x x)h(\sum_y b_y [/mm] y)$ da stehen haben, aber das kriege ich nicht sauber aufgeschrieben.
Kann jemand helfen?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Sa 04.01.2014 | | Autor: | felixf |
Moin UniversellesObjekt,
> [mm]A[/mm] sei ein kommutativer Ring, [mm]G[/mm], [mm]G'[/mm] seien multiplikative
> Monoide und [mm]\varphi\colon G\longrightarrow G'[/mm] sei ein
> Monoid-Homomorphismus. Dann existiert ein eindeutiger
> Ringhomomorphismus [mm]h\colon A[G]\longrightarrow A[G'][/mm],
> sodass [mm]h(x)=\varphi(x)[/mm] für alle [mm]x\in G[/mm] und [mm]h(a)=a[/mm] für
> alle [mm]a\in A[/mm]. [mm]A[G][/mm] bezeichnet hierbei den
> Monoidring über
> [mm]A[/mm].
>
> Hallo,
>
> Es ist ja klar, dass [mm]h\colon A[G]\longrightarrow A[G'][/mm]
> gegeben sein muss durch [mm]\sum_x a_x x\longmapsto\sum_x a_x \varphi(x)[/mm];
> das reicht auch um [mm]h[/mm] zu definieren, da ich jedes Element in
> [mm]A[G][/mm] eindeutig auf diese Weise schreiben kann. Dass [mm]h[/mm] ein
> Homomorphismus in Bezug auf die additive Struktur von [mm]A[G][/mm]
> und [mm]A[G'][/mm] ist, ist auch klar.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ich mir Multiplikation angucke, wäre es ja schön,
> einfach zu schreiben:
>
> [mm]h((\sum_x a_x x)(\sum_y b_y y))=h(\sum_{x,y}a_xb_y xy)=\sum_{x,y}a_xb_y\varphi(xy)=\sum_{x,y}a_xb_y\varphi(x)\varphi(y)=(\sum_x a_x\varphi(x))(\sum_x b_y\varphi(y)=h(\sum_x a_x x)h(\sum_y b_y y)[/mm].
>
> Aber weil ich [mm]h[/mm] ja nur für Summen der Form [mm]\sum_x a_x x[/mm]
> definiert habe, ist das mit diesen Doppelindizes etwas
> unsauber, darum würde ich gerne
>
> [mm]h(\sum_z(\sum_{xy=z}a_xb_y) z)=h(\sum_x a_x x)h(\sum_y b_y[/mm]
> y)$ da stehen haben, aber das kriege ich nicht sauber
> aufgeschrieben.
Warum nicht? Bzw. was genau nicht?
Du musst ja zeigen:
(i) [mm] $(\sum_x a_x [/mm] x) [mm] (\sum_y b_y [/mm] y) = [mm] \sum_z (\sum_{xy=z} a_x b_y) [/mm] z$ (wobei die innere Summe endlich ist, da [mm] $(a_x, b_y) \neq [/mm] (0, 0)$ nur fuer endlich viele $(x, y)$ der Fall ist);
(ii) [mm] $\sum_z (\sum_{xy=z} a_x b_y) [/mm] h(z) = [mm] (\sum_x a_x [/mm] h(x)) [mm] (\sum_y b_y [/mm] h(y))$.
Damit haettest du die gesuchte Gleichheit. Oder ist deine Frage (im wesentlichen), wie man diese beiden Gleichheiten zeigt? (Teil (i) folgt ja aus (ii) fuer $h = [mm] id_G$.)
[/mm]
LG Felix
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> (i) [mm](\sum_x a_x x) (\sum_y b_y y) = \sum_z (\sum_{xy=z} a_x b_y) z[/mm]
> (wobei die innere Summe endlich ist, da [mm](a_x, b_y) \neq (0, 0)[/mm]
> nur fuer endlich viele [mm](x, y)[/mm] der Fall ist);
>
> (ii) [mm]\sum_z (\sum_{xy=z} a_x b_y) h(z) = (\sum_x a_x h(x)) (\sum_y b_y h(y))[/mm].
>
> Damit haettest du die gesuchte Gleichheit. Oder ist deine
> Frage (im wesentlichen), wie man diese beiden Gleichheiten
> zeigt? (Teil (i) folgt ja aus (ii) fuer [mm]h = id_G[/mm].)
>
> LG Felix
Hi Felix,
Danke für deine Antwort. Ja, das zu zeigen habe ich nicht hinbekommen, wobei (i) aber meine Definition der Multiplikation ist; es geht also nur um (ii). Hier sollte es heißen [mm]\sum_z (\sum_{xy=z} a_x b_y) \varphi(z) = (\sum_x a_x \varphi(x)) (\sum_y b_y \varphi(y))[/mm], also [mm] $\varphi$ [/mm] anstelle von $h$, das war wohl ein Vertipper.
Ich habe das jetzt so gemacht, es wäre super, wenn du mal gucken könntest, ob das passt:
[mm] $h((\sum_{x\in G}a_x x)(\sum_{y\in G}b_y [/mm] y))$
[mm] $=h(\sum_{z\in G}(\sum_{xy=z}a_xb_y)z)$
[/mm]
[mm] $=\sum_{z'\in G'}(\sum_{\varphi(z)=z'}(\sum_{xy=z}a_xb_y))z'$
[/mm]
[mm] $=\sum_{z'\in G'}(\sum_{\varphi(x)\varphi(y)=z'}a_xb_y)z'$
[/mm]
[mm] $=\sum_{z'\in G}(\sum_{x'\cdot y'=z',\ \varphi(x)=x',\ \varphi(y)=y'}a_xb_y)z'$
[/mm]
[mm] $=\varphi{z'\in G'}(\sum_{x'y'=z'}(\sum_{\varphi(x)=x',\ \varphi(y)=y'}a_xb_y))z'$
[/mm]
[mm] $=\sum_{z'\in G'}(\sum_{x'y'=z'}((\sum_{\varphi(x)=x'}a_x)(\sum_{\varphi(y)=y'}b_y)))z'$
[/mm]
[mm] $=(\sum_{x'\in G'}(\sum_{\varphi(x)=x'}a_x)x')(\sum_{y'\in G'}(\sum_{\varphi(y)=y'}b_y)y')$
[/mm]
[mm] $=h(\sum_{x\in G}a_x x)h(\sum_{y\in G}b_y [/mm] y)$
Ich weiß, das sieht jetzt ziemlich hässlich aus, aber ich wäre echt dankbar, wenn du mir bescheid geben könntest, ob das so stimmt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 So 05.01.2014 | | Autor: | felixf |
Moin universelles Objekt,
> > (i) [mm](\sum_x a_x x) (\sum_y b_y y) = \sum_z (\sum_{xy=z} a_x b_y) z[/mm]
> > (wobei die innere Summe endlich ist, da [mm](a_x, b_y) \neq (0, 0)[/mm]
> > nur fuer endlich viele [mm](x, y)[/mm] der Fall ist);
> >
> > (ii) [mm]\sum_z (\sum_{xy=z} a_x b_y) h(z) = (\sum_x a_x h(x)) (\sum_y b_y h(y))[/mm].
>
> >
> > Damit haettest du die gesuchte Gleichheit. Oder ist deine
> > Frage (im wesentlichen), wie man diese beiden Gleichheiten
> > zeigt? (Teil (i) folgt ja aus (ii) fuer [mm]h = id_G[/mm].)
>
> Danke für deine Antwort. Ja, das zu zeigen habe ich nicht
> hinbekommen, wobei (i) aber meine Definition der
> Multiplikation ist;
stimmt :)
> es geht also nur um (ii). Hier sollte
> es heißen [mm]\sum_z (\sum_{xy=z} a_x b_y) \varphi(z) = (\sum_x a_x \varphi(x)) (\sum_y b_y \varphi(y))[/mm],
> also [mm]\varphi[/mm] anstelle von [mm]h[/mm], das war wohl ein Vertipper.
Ja, bzw. das gleiche, da ja $h(z) = [mm] \varphi(z)$ [/mm] ist fuer $z [mm] \in [/mm] G$.
> Ich habe das jetzt so gemacht, es wäre super, wenn du mal
> gucken könntest, ob das passt:
>
> [mm]h((\sum_{x\in G}a_x x)(\sum_{y\in G}b_y y))[/mm]
>
> [mm]=h(\sum_{z\in G}(\sum_{xy=z}a_xb_y)z)[/mm]
>
> [mm]=\sum_{z'\in G'}(\sum_{\varphi(z)=z'}(\sum_{xy=z}a_xb_y))z'[/mm]
>
> [mm]=\sum_{z'\in G'}(\sum_{\varphi(x)\varphi(y)=z'}a_xb_y)z'[/mm]
Hiervor wuerd ich noch den Zwischenschritt [mm] $\sum_{z'\in G'}(\sum_{\varphi(x y)=z'}a_xb_y)z'$ [/mm] einfuegen.
> [mm]=\sum_{z'\in G}(\sum_{x'\cdot y'=z',\ \varphi(x)=x',\ \varphi(y)=y'}a_xb_y)z'[/mm]
>
> [mm]=\varphi{z'\in G'}(\sum_{x'y'=z'}(\sum_{\varphi(x)=x',\ \varphi(y)=y'}a_xb_y))z'[/mm]
>
> [mm]=\sum_{z'\in G'}(\sum_{x'y'=z'}((\sum_{\varphi(x)=x'}a_x)(\sum_{\varphi(y)=y'}b_y)))z'[/mm]
>
> [mm]=(\sum_{x'\in G'}(\sum_{\varphi(x)=x'}a_x)x')(\sum_{y'\in G'}(\sum_{\varphi(y)=y'}b_y)y')[/mm]
>
> [mm]=h(\sum_{x\in G}a_x x)h(\sum_{y\in G}b_y y)[/mm]
>
> Ich weiß, das sieht jetzt ziemlich hässlich aus, aber ich
> wäre echt dankbar, wenn du mir bescheid geben könntest,
> ob das so stimmt.
Ja, das stimmt so.
Aber vielleicht solltest du ganz am Anfang (dort wo du $h$ definierst) noch schreiben, dass [mm] $h(\sum_x a_x [/mm] x) = [mm] \sum_{x'} (\sum_{\varphi(x)=x'} a_x) [/mm] x'$ die "richtige" Definition von $h$ ist. (Falls du das nicht eh schon machst :) )
LG Felix
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Supi, Danke 
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