Monotomieverh. in Abhängigkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Di 06.06.2006 | | Autor: | lawib |
| Aufgabe | Gib das Monotomieverhalten der Funktion f mit f(x)= [mm] a*X^n [/mm]
a E R \ 0; n E N
in Abhängigkeit von dem Parameter an.
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Kann mir jemand dabei helfen??? Sollen das rausfinden, hab aber überhaupt keine Idee
VG Lena
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Di 06.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lena,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Eine Funktion ist genau dann monoton fallend, wenn gilt: $f'(x) \ [mm] \le [/mm] \ 0$ .
Analog ist sie monoton steigend bei: $f'(x) \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ .
Bestimme also zunächst die Ableitung $f'(x)_$ und dann die Nullstelle der Ableitung.
Hierfür ist dann eine Fallunterscheidung für $n \ [mm] \text{gerade}$ [/mm] bzw. $n \ [mm] \text{ungerade}$ [/mm] erforderlich. Was gilt dann jeweils für die Ableitung (also für $n-1_$) ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Di 06.06.2006 | | Autor: | lawib |
Ich weiß jetzt nicht, ob das stimmt:
[mm] f'(x)=a*n*x^{n-1}
[/mm]
und das mir monoton steigend/fallend hatten wir schon...
problem ist nun halt nur, das ich nicht weiß was er mit der obengenannten frage von mir will...
VG Lawib
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Hi, lawib,
> Ich weiß jetzt nicht, ob das stimmt:
> [mm]f'(X)=a*n*x^n-1[/mm]
Musst n-1 in geschweifte Klammern setzen, dann wird's richtig:
f'(x) = [mm] a*n*x^{n-1}
[/mm]
> und das mir monoton steigend/fallend hatten wir schon...
> problem ist nun halt nur, das ich nicht weiß was er mit
> der obengenannten frage von mir will...
Nun ist ja n als natürliche Zahl automatisch positiv.
Fall 1: Wenn n eine ungerade Zahl ist, ist (n-1) gerade und damit [mm] x^{n-1} [/mm] immer [mm] \ge [/mm] 0.
Demnach hängt das Vorzeichen von f'(x) für ungerades n (n = 1; 3; 5; 7; ...)
nur von der Konstanten a ab:
Fall 1.1: a > 0; dann gilt f'(x) > 0 für alle x [mm] \not=0 [/mm] (und f'(0)=0)
Daher ist f auf ganz [mm] \IR [/mm] echt monoton zunehmend.
(Zeichne Dir mal als typische Beispiele die Graphen der Funktionen für a=2 und n=1; n=3, also: f(x) = x; [mm] f(x)=x^{3}.)
[/mm]
Fall 1.2: a < 0: Das geht analog zu 1.1; das schaffst Du allein!
Fall 2: Wenn n eine gerade Zahl ist, ist (n-1) ungerade und damit [mm] x^{n-1} [/mm] positiv, wenn x positiv ist, [mm] x^{n-1} [/mm] ist negativ, wenn x negativ ist.
Zusätzlich hängt das Vorzeichen von f'(x) für gerades n (n = 2; 4; 6; ...)
wieder von der Konstanten a ab:
Fall 2.1: a > 0; dann ist f'(x) > 0 für x > 0 und < 0 für x < 0.
Also ist f echt mon. abnehmend in [mm] ]-\infty [/mm] ; 0];
echt mon zunehmend in [0; [mm] +\infty[
[/mm]
Fall 2.2: a < 0; schaffst Du wieder allein!
mfG!
Zwerglein
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