Monotones Wachstum < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:05 Di 06.01.2009 | | Autor: | dmy |
| Aufgabe | Sei I ein Intervall, das mehr als einen Punkt enthält, und seien [mm] \xi \in I^\circ [/mm] sowie [mm] f:I\rightarrow \mathbb{R} [/mm] eine Funktion.
Zeigen Sie, dass h: I [mm] \cap ]-\infty,\xi[ \rightarrow \mathbb{R}, x\rightarrow [/mm] h(x):= [mm] \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi} [/mm] eine auf I [mm] \cap ]-\infty, \xi[ [/mm] monoton wachsende, nach oben beschränkte Funktion ist. |
Irgendwo muss ich wohl einen Denkfehler haben. Denn setze ich I=[-5,6], [mm] \xi=5 [/mm] und f(x) = [mm] x^3 [/mm] so sollte h:= ]-5,5[ [mm] \rightarrow \mathbb{R}, h(x):=\frac{x^3-5^3}{x-5} [/mm] gelten.
Lasse ich diese Funktion nun in Mathematika plotten ergibt sich dass sie auf ]-5,5[ keineswegs monoton wachsend ist sondern ein lokales Minimum irgendwo zwischen -3 und -2 hat.
Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte wo mein Denkfehler liegt...
Achja: Ich habe die Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt!
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Die Aufgabenstellung deutet auf die linksseitige Konvergenz des Differenzenquotienten hin. Dabei verwundert mich, dass die Funktion h auf einem Intervall definiert wird, das links so weit reichen kann.
In dem Beispiel könnte man ja auch [mm] I=\IR [/mm] wählen und damit wäre h sogar auf einem nach links unbeschränkten Intervall definiert.
Die Monotonie wird es aber nur in einer Umgebung um die Stelle [mm] \xi [/mm] geben (wenn überhaupt).
Eine weitere Unklarheit offenbart das Beispiel [mm] f(x)=-x^3 [/mm] an gleicher Stelle [mm] \xi=5. [/mm] Hier ist h nämlich monoton fallend (klar, ist ja nur die Spiegelung an der x-Achse).
Nimmt man sogar eine Funktion wie [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in \IQ \\ 1, & \mbox{für } x \not\in \IQ \end{cases} [/mm] an der Stelle [mm] \xi [/mm] = 0, dann findet man sicher keine Monotonie mehr, ganz unabhängig von der Wahl der Intervalle.
Fazit: Die Aufgabenstellung scheint mir nicht ganz sattelfest zu sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Di 06.01.2009 | | Autor: | dmy |
Ja, hab grad bemerkt dass da etwas versteckt noch erwähnt war das f eine konvexe Funktion sein muss... Damit hat sich die Frage erledigt... Leider finde ich keine Funktion um die Frage als geklärt zu markieren...
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