Monotonie < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich vesuche gerade ein Monotonie-Beispiel für Folgen nachzuvollziehen.
Also sei [mm] a_{n} [/mm] := (1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n+1} [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
Für n [mm] \ge [/mm] 2 ist
[mm] \bruch{a_{n-1}}{a_{n}} [/mm] = (1 + [mm] \bruch{1}{n-1})^n [/mm] : (1+ [mm] \bruch{1}{n})^{n+1}
[/mm]
= (1+ [mm] \bruch{1}{n^2 - 1})^n [/mm] * [mm] \bruch{n}{n+1}
[/mm]
Wie sehen denn die Zwischenschritte aus, um darauf zu kommen??
Zweite Frage:
Wieso setzt man denn hier [mm] \bruch{a_{n-1}}{a_{n}} [/mm] an??
Danke,
Anna
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Hallo Anna!
Deine letzte Frage zuerst ... um z.B. die Eigenschaft "monoton steigend" nachzuweisen, muss ja gelten: [mm] $a_{n-1} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] a_n$ [/mm] .
Und hier ist es nun (fast) egal, ob das umforme zu:
[mm] $a_{n-1}-a_ [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 0$ oder [mm] $\bruch{a_{n-1}}{a_n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$ (Einschränkung: [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ )
Nun zur Umformung:
[mm] $\bruch{a_{n-1}}{a_n} [/mm] \ = \ [mm] \left(1 + \bruch{1}{n-1}\right)^n [/mm] \ : \ [mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}$
[/mm]
$= \ [mm] \left(\bruch{n-1}{n-1} + \bruch{1}{n-1}\right)^n [/mm] \ : \ [mm] \left(\bruch{n}{n}+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}$
[/mm]
$= \ [mm] \left(\bruch{n-1+1}{n-1}\right)^n [/mm] \ : \ [mm] \left(\bruch{n+1}{n}\right)^{n+1}$
[/mm]
$= \ [mm] \left(\bruch{n}{n-1}\right)^n [/mm] \ * \ [mm] \left(\bruch{n}{n+1}\right)^{n+1}$
[/mm]
$= \ [mm] \left(\bruch{n}{n-1}\right)^n* \left(\bruch{n}{n+1}\right)^{n}* \left(\bruch{n}{n+1}\right)^{1}$
[/mm]
$= \ [mm] \left[\left(\bruch{n}{n-1}\right)* \left(\bruch{n}{n+1}\right)\right]^{n}* \left(\bruch{n}{n+1}\right)$
[/mm]
$= \ [mm] \left[\bruch{n*n}{(n-1)*(n+1)}\right]^{n}*\bruch{n}{n+1}$
[/mm]
$= \ [mm] \left(\bruch{n^2}{n^2-1}\right)^{n}*\bruch{n}{n+1}$
[/mm]
$= \ [mm] \left(\bruch{n^2-1+1}{n^2-1}\right)^{n}*\bruch{n}{n+1}$
[/mm]
$= \ [mm] \left(\bruch{n^2-1}{n^2-1}+\bruch{1}{n^2-1}\right)^{n}*\bruch{n}{n+1}$
[/mm]
$= \ [mm] \left(1+\bruch{1}{n^2-1}\right)^{n}*\bruch{n}{n+1}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner,
super, vielen Dank für Deine Hilfe!
Konnte die Schritte nachvollziehen.
Nur noch eine Frage:
> Deine letzte Frage zuerst ... um z.B. die Eigenschaft
> "monoton steigend" nachzuweisen, muss ja gelten: [mm]a_{n-1} \ \le \ a_n[/mm]
> .
>
> Und hier ist es nun (fast) egal, ob das umforme zu:
>
> [mm]a_{n-1}-a_ \ \le \ 0[/mm] oder [mm]\bruch{a_{n-1}}{a_n} \ \le \ 1[/mm]
> (Einschränkung: [mm]a_n \ \not= \ 0[/mm] )
Ist das generell so, dass man jeder dieser Unformungen nehmen könnte oder speziell bei diesem Fall? Ist diese Umformung mit dem Bruch hier so gewählt, weil die Folge selbst auch einen Bruch beinhaltet?
Danke,
Anna
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Hallo Anna!
> Ist das generell so, dass man jeder dieser Unformungen
> nehmen könnte oder speziell bei diesem Fall?
Das ist immer frei wählbar!
> Ist diese Umformung mit dem Bruch hier so gewählt, weil die Folge
> selbst auch einen Bruch beinhaltet?
Auch ... aber eher, weil es sich hier um ein Potenzen handelt, die man mittels Division besser zusammenfassen kann.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Roadrunner,
vielen Dank.
> Auch ... aber eher, weil es sich hier um ein Potenzen
> handelt, die man mittels Division besser zusammenfassen
> kann.
Ah Ok. Muss ich wohl noch Übung drin bekommen damit ich weiß,
wann ich was am besten nutze. :-(
Gruß,
Anna
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Hallo nochmal,
jetzt habe ich ja
(1 + [mm] \bruch{1}{n^2 - 1})^n [/mm] * [mm] (\bruch{n}{n+1})
[/mm]
Das wird jetzt [mm] \ge [/mm] (1 + [mm] \bruch{n}{n^2 - 1}) [/mm] * [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] "gesetzt" aufgrund der Bernoullischen Ungleichung. Soweit, so klar.
Jedoch der nächste Schritt, da komm ich nicht so ganz drauf.
[mm] \ge [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{n}) \bruch{n}{n+1} [/mm] = 1
Anna
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Hallo Anna!
Hier wurde folgendermaßen abgeschätzt:
[mm] $\bruch{n}{n^2-1} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \bruch{1}{n}$
[/mm]
Diese Ungleichung kann man schnell nachweisen, indem man hier mal mit $n_$ multipliziert:
[mm] $\bruch{n^2}{n^2-1} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$ Und das ist ja offensichtlich, da der Zähler größer ist als der Nenner.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner,
sorry, ich muss da noch mal nachfragen.
> Hier wurde folgendermaßen abgeschätzt:
>
> [mm]\bruch{n}{n^2-1} \ \ge \ \bruch{1}{n}[/mm]
Also man hat hier einfach die [mm] \bruch{n}{n^2-1} [/mm] "rausgepickt" und
setzt dieses [mm] \ge \bruch{1}{n}, [/mm] also schätzt es ab?
> Diese Ungleichung kann man schnell nachweisen, indem man
> hier mal mit [mm]n_[/mm] multipliziert:
>
> [mm]\bruch{n^2}{n^2-1} \ \ge \ 1[/mm] Und das ist ja offensichtlich,
> da der Zähler größer ist als der Nenner.
Ja, das leuchtet mir ein. Also weil [mm]\bruch{n}{n^2-1} \ \ge \ \bruch{1}{n}[/mm] ist,
wird dann einfach das [mm] \bruch{n}{n^1-1} [/mm] durch [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ersetzt?? ??
Und wenn [mm] \bruch{n}{n^2-1} \le \bruch{1}{n} [/mm] wäre (was natürlich nicht so ist, aber rein von meinem Verständnis her), dann dürfte man das nicht ersetzen? Also kommt es dabei auf das [mm] \ge [/mm] an?
Außerdem versteh ich immer noch nicht so ganz wie man dann auf das = 1 kommt.
Danke für die Hilfe!
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Mo 23.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst a>b zeigen. Du weisst a>c,wenn du jetzt noch weisst b>c dann bist du fertig. und hast a>b
Wenn du aber b<c weisst hilft dir das nix! Wend das auf deine Frage an.
für das =1: bring mal 1+1/n auf den Hauptnenner!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo leduart,
logisch, jetzt ist alles klar. Vielen Dank.
Anna
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Hallo,
ich habe noch eine Frage dazu....
> Nun zur Umformung:
>
>
> [mm]\bruch{a_{n-1}}{a_n} \ = \ \left(1 + \bruch{1}{n-1}\right)^n \ : \ \left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}[/mm]
Wenn die Ausgangsgleichung nicht [mm]a_{n}[/mm] := (1 + [mm]\bruch{1}{n})^{n+1}[/mm] sondern [mm]a_{n}[/mm] := (1 + [mm]\bruch{1}{n})^{n}[/mm] wäre, müsste es dann
[mm]\bruch{a_{n-1}}{a_n} \ = \ \left(1 + \bruch{1}{n-1}\right)^{n-1} \ : \ \left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}[/mm]
heißen? Und wenn ja, wie würde dann die Umforumung zu
> [mm]= \ \left(\bruch{n}{n-1}\right)^n* \left(\bruch{n}{n+1}\right)^{n}* \left(\bruch{n}{n+1}\right)^{1}[/mm]
aussehen? Also wenn ich n + 1 habe ist ja klar, dass ich (n) nehme und dann noch einmal multipliziere (so wie hier gerade). Aber wie löst man das hoch(n-1) auf?
Ich hoffe man versteht meine Frage :-(
Gruß,
Anna
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Hallo Anna!
[mm] $\left(1 + \bruch{1}{n-1}\right)^{n-1} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{n}{n-1}\right)^{n-1} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{n}{n-1}\right)^n*\left(\bruch{n}{n-1}\right)^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{n}{n-1}\right)^n*\bruch{n-1}{n}$
[/mm]
Du könntest aber auch alternativ folgendes rechnen:
[mm] $\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^{n} [/mm] \ = \ [mm] \left(1 + \bruch{1}{n}\right)^{n-1}*\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^{1} [/mm] \ = \ [mm] \left( \bruch{n+1}{n}\right)^{n-1}*\bruch{n+1}{n}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner,
vielen Dank für Deine schnelle Antwort! Kann das leider noch nicht so nachvollziehen :-(
> [mm]\left(1 + \bruch{1}{n-1}\right)^{n-1} \ = \ \left(\bruch{n}{n-1}\right)^{n-1} \ = [/mm]
Warum ist denn hier jetzt die 1 weg?
>[mm]\ \left(\bruch{n}{n-1}\right)^n*\left(\bruch{n}{n-1}\right)^{-1} \ = \ \left(\bruch{n}{n-1}\right)^n*\bruch{n-1}{n}[/mm]
>
>
> Du könntest aber auch alternativ folgendes rechnen:
>
> [mm]\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^{n} \ = \ \left(1 + \bruch{1}{n}\right)^{n-1}*\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^{1} \ = \ \left( \bruch{n+1}{n}\right)^{n-1}*\bruch{n+1}{n}[/mm]
Auch das verstehe ich nicht so ganz. Nehme ich mal ein anderes Beispiel:
[mm] (\bruch{n+3}{n+2})^n [/mm]
Also ist [mm] (\bruch{n+3}{n+2})^{n-1} [/mm] = [mm] (\bruch{n+3}{n+2})^n [/mm] * [mm] (\bruch{n+2}{n+3}) [/mm]
Habe ich das so richtig verstanden?
Gruß,
Anna
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Hallo Anna!
> > [mm]\left(1 + \bruch{1}{n-1}\right)^{n-1} \ = \ \left(\bruch{n}{n-1}\right)^{n-1} \ =[/mm]
>
> Warum ist denn hier jetzt die 1 weg?
Bruchrechnung: [mm] $1+\bruch{1}{n-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n-1}{n-1}+\bruch{1}{n-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n-1+1}{n-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{n-1}$
[/mm]
> Auch das verstehe ich nicht so ganz. Nehme ich mal ein anderes Beispiel:
> [mm](\bruch{n+3}{n+2})^n[/mm]
> Also ist [mm](\bruch{n+3}{n+2})^{n-1}[/mm] = [mm](\bruch{n+3}{n+2})^n*(\bruch{n+2}{n+3})[/mm]
> Habe ich das so richtig verstanden?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja!
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
> > [mm](\bruch{n+3}{n+2})^n[/mm]
ich versuche mich gerade (mal wieder) an der Konvergenz von dieser Folge.
Ich sehe, dass das eine monoton wachsende Folge ist, bekomme für
n [mm] \ge [/mm] 2 auch [mm] (\bruch{a_{n+1}}{a_n}) [/mm] = [mm] \bruch{n+3}{n+2}, [/mm] also > 1, was ja die Monotonie zeigt.
Ich sehe auch, dass lim die Eulersche Zahl ist. Aber wie kann ich das zeigen?
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Mo 30.04.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Anna!
> > > [mm](\bruch{n+3}{n+2})^n[/mm]
> Ich sehe auch, dass lim die Eulersche Zahl ist. Aber wie
> kann ich das zeigen?
Es ist doch [mm](\bruch{n+3}{n+2})^n[/mm] = (1 + [mm] \bruch{1}{n+2})^{n}
[/mm]
und das hat denselben Limes wie (1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n-2}
[/mm]
und das kannst nach den üblichen Potenzgesetzen umbauen
und dann noch die Rechenregeln für Grenzwerte benutzen.
Schönen Tag noch
Dieter
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Hallo Dieter,
vielen Dank für Deine schnelle Antwort!
> Es ist doch [mm](\bruch{n+3}{n+2})^n[/mm] = (1 +
> [mm]\bruch{1}{n+2})^{n}[/mm]
> und das hat denselben Limes wie (1 + [mm]\bruch{1}{n})^{n-2}[/mm]
> und das kannst nach den üblichen Potenzgesetzen umbauen
> und dann noch die Rechenregeln für Grenzwerte benutzen.
irgendwie habe ich mal wieder ein Brett vor dem Kopf. Ich bekomm es trotzdem nicht hin zu zeigen, dass lim = e, also (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] ist.
Dabei liegt es wirklich auf der Hand, aber ich bekomm das nicht ausformuliert :-(
Vielleicht kann mir ja noch mal jemand helfen.
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Mo 30.04.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> > Es ist doch [mm](\bruch{n+3}{n+2})^n[/mm] = (1 +
> > [mm]\bruch{1}{n+2})^{n}[/mm]
> > und das hat denselben Limes wie (1 +
> [mm]\bruch{1}{n})^{n-2}[/mm]
> > und das kannst nach den üblichen Potenzgesetzen
> umbauen
> > und dann noch die Rechenregeln für Grenzwerte
> benutzen.
>
> irgendwie habe ich mal wieder ein Brett vor dem Kopf. Ich
> bekomm es trotzdem nicht hin zu zeigen, dass lim = e, also
> (1 + [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm] ist.
> Dabei liegt es wirklich auf der Hand, aber ich bekomm das
> nicht ausformuliert :-(
Es ist doch (1 + [mm]\bruch{1}{n})^{n-2}[/mm] = (1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n}\*(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n})^{-2}
[/mm]
Wenn nun n gegen [mm]\infty[/mm] geht, geht der 2. Faktor gegen 1.
> Vielleicht kann mir ja noch mal jemand helfen.
>
> Danke,
Da nich für
Dieter
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Hallo Dieter,
> Es ist doch (1 + [mm]\bruch{1}{n})^{n-2}[/mm] = (1 +
> [mm]\bruch{1}{n})^{n}\*(1[/mm] + [mm]\bruch{1}{n})^{-2}[/mm]
Ja, so weit war ich auch.
> Wenn nun n gegen [mm]\infty[/mm] geht, geht der 2. Faktor gegen 1.
Weil [mm] \bruch{1}{n} [/mm] für n gegen unendlich gegen 0 geht geht (1 + [mm] \bruch{1}{n})^{-2} [/mm] = (1 + 0) [mm] =1^{-2} [/mm] also gegen 1. Habe ich das so richtig nachvollzogen?
Und weil nun lim (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] = e ist, gilt nach lim [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] * lim (1 + [mm] \bruch{1}{n})^{-2} [/mm] = 1 * e = lim e.
Ist das so richtig?
Danke.
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Mo 30.04.2007 | | Autor: | statler |
Hi Anna!
> Hallo Dieter,
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> > Es ist doch (1 + [mm]\bruch{1}{n})^{n-2}[/mm] = (1 +
> > [mm]\bruch{1}{n})^{n}\*(1[/mm] + [mm]\bruch{1}{n})^{-2}[/mm]
>
> Ja, so weit war ich auch.
>
> > Wenn nun n gegen [mm]\infty[/mm] geht, geht der 2. Faktor gegen 1.
>
> Weil [mm]\bruch{1}{n}[/mm] für n gegen unendlich gegen 0 geht geht
> (1 + [mm]\bruch{1}{n})^{-2}[/mm] = (1 + 0) [mm]=1^{-2}[/mm] also gegen 1.
> Habe ich das so richtig nachvollzogen?
> Und weil nun lim (1 + [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm] = e ist, gilt nach
> lim [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] * lim (1 + [mm]\bruch{1}{n})^{-2}[/mm] = 1 *
> e = lim e.
> Ist das so richtig?
Isses! Falls das eine Übungsaufgabe sein sollte, müßtest du die einzelnen Schritte noch mit Sätzen oder Formeln aus der Vorlesung belegen, dann wäre es perfekt!
Ciao
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Dieter,
danke, dass Du mich von diesem Brett befreit hast!!!
Natürlich werde ich das nun noch mit dem dementsprechenden Sätzen belegen.
Gruß und noch einen schönen Tag,
Anna
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Peinlich...
