Monotonie < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 So 06.03.2005 | | Autor: | spy |
Hallo Forum!
Ich habe ein grundsätzliches Verständnisproblem mit dem errechnen des Monotonierverhalten einer Funktion.
Die Funktion sei:
[mm] \bruch{x^{4}+1}{x^{2}}
[/mm]
Die erste Ableitung ist also:
[mm] \bruch{2*x^{4}-2}{x^{3}}
[/mm]
Nun weiß ich,
- wenn f'(x) < 0 ist, ist f(x) monoton fallend
- wenn f'(x) > 0 ist, ist f(x) monoton steigend.
Aber wie errechne ich das?
- Kann ich bei der Ungleichung auf denn Nenner von f'(x) verzichten?
- Oder aber ändert sich das Ungleichzeichen für x<0 und muss ich zwei Fälle betrachten, wenn ich im ersten Schritt mit [mm] x^{3} [/mm] multipliziere, um den Nenner weg zu bekommen?
- Wenn ich am Ende die [mm] \wurzel[4]{1} [/mm] ziehe, und als Lösungen x1=-1,x2=1 bekomme. Ist dann die Schnittmenge meine Lösung? Wie bekomme ich rechnerisch den Pol bei 0 in diese Rechnung?
Vom logischen Überlegen her weiß ich genau die die Monotonie aussieht. Ich schaffe es aber nicht es auf dem rechnerischem Weg zu beweisen.
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo spy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe ein grundsätzliches Verständnisproblem mit dem
> errechnen des Monotonierverhalten einer Funktion.
Kennst du schon unsere  MatheBank, insbesondere monoton?
> Die Funktion sei:
> [mm]\bruch{x^{4}+1}{x^{2}}[/mm]
Da der Graph der Funktion "von links oben" kommt und nach "rechts oben" geht,
kann die Funktion nicht im ganzen Definitionsbereich monoton sein.
Du suchst als Teilintervalle.
>
> Die erste Ableitung ist also:
> [mm]\bruch{2*x^{4}-2}{x^{3}}[/mm]
Finde mal die Nullstellen der ersten Ableitung heraus;
dann weißt du, dass die Funktion an diesen Stellen ihr Steigungsverhalten ändert:
von steigend nach fallend oder umgekehrt.
> Nun weiß ich,
> - wenn f'(x) < 0 ist, ist f(x) monoton fallend
> - wenn f'(x) > 0 ist, ist f(x) monoton steigend.
Genau nach dieser Überlegung!
> Aber wie errechne ich das?
> - Kann ich bei der Ungleichung auf denn Nenner von f'(x)
> verzichten?
nein
> - Oder aber ändert sich das Ungleichzeichen für x<0 und
> muss ich zwei Fälle betrachten, wenn ich im ersten Schritt
> mit [mm]x^{3}[/mm] multipliziere, um den Nenner weg zu bekommen?
> - Wenn ich am Ende die [mm]\wurzel[4]{1}[/mm] ziehe, und als
> Lösungen [mm] x_1=-1, x_2=1 [/mm] bekomme. Ist dann die Schnittmenge
> meine Lösung?
nein, du suchst Intervalle, auf denen die Funktion monoton ist.
> Wie bekomme ich rechnerisch den Pol bei 0 in
> diese Rechnung?
Ein Pol ist stets dort, wo der Nenner Null wird, aber der Zähler dort nicht auch eine Nullstelle hat.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") Definitionslücke
(Wenn Zähler und Nenner gleichzeitig Null werden, liegt eine behebbare Definitionslücke vor!)
> Vom logischen Überlegen her weiß ich genau die die
> Monotonie aussieht. Ich schaffe es aber nicht es auf dem
> rechnerischem Weg zu beweisen.
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe,
> Stefan
>
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>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Mo 07.03.2005 | | Autor: | spy |
Hallo Informix,
vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe dazu aber noch einige Fragen:
> > Die Funktion sei:
> > [mm]\bruch{x^{4}+1}{x^{2}}[/mm]
> Da der Graph der Funktion "von links oben" kommt und nach
> "rechts oben" geht,
> kann die Funktion nicht im ganzen Definitionsbereich
> monoton sein.
> Du suchst als Teilintervalle.
> >
> > Die erste Ableitung ist also:
> > [mm]\bruch{2*x^{4}-2}{x^{3}}[/mm]
> Finde mal die Nullstellen der ersten Ableitung heraus;
> dann weißt du, dass die Funktion an diesen Stellen ihr
> Steigungsverhalten ändert:
> von steigend nach fallend oder umgekehrt.
Soweit alles klar. Die Nullstellen sind -1 und 1 und ich finde einen Pol ohne VZW bei 0. Also ändert sich das Monotonierverhalten bei -1, 0 und 1. Insgesamt erhalte ich daraus vier Intervalle in denen die Funktion eine gewisse Monotonie aufweist:
I1:= [mm] (-\infty,-1)
[/mm]
I2:= (-1,0)
I3:= (0,1)
I4:= [mm] (1,\infty)
[/mm]
Wie prüfe ich denn jetzt die Monotonie?
-Setzte ich einfach Werte aus einem der Intervalle in die erste Ableitung ein und schaue was raus kommt?
z.B: für I1: f'(-2) = [mm] -\bruch{15}{4} [/mm] => f(x) ist monoton fallend in I1
-oder berechne für jedes Intervall eine Ungleichung
z.B: für I1:
[mm] \bruch{2*x^4-2}{x^3} [/mm] < 0 // [mm] *x^3
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2*x^4-2 [/mm] > 0 // da, [mm] x^3 [/mm] für I1 neg.
[mm] \Rightarrow x^4 [/mm] > 1
und was ist jetzt? Gilt hier, dass die Aussage [mm] x^4 [/mm] > 1 wahr ist und damit die Funktion im Interval I1 tatsächlich monoton fällt? Oder muss ich jetzt alls x ausrechnen? Wozu sollte das gut sein?
Falls die fallende Monotonie mit der gültigen Aussage [mm] x^4 [/mm] > 1 bewiesen ist, kann ich dann auch sagen [mm] x^4 [/mm] >= 1 (für I1) und damit eine streng fallende Monotonie nachweisen?
Gruß,
Stefan
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Hi, spy,
> I1:= [mm](-\infty,-1)
[/mm]
> I2:= (-1,0)
> I3:= (0,1)
> I4:= [mm](1,\infty)
[/mm]
>
> Wie prüfe ich denn jetzt die Monotonie?
>
> -Setzte ich einfach Werte aus einem der Intervalle in die
> erste Ableitung ein und schaue was raus kommt?
>
> z.B: für I1: f'(-2) = [mm]-\bruch{15}{4}[/mm] => f(x) ist monoton
> fallend in I1
>
Ja, das geht!
Dennoch eine kleine Korrektur:
Wenn die Funktion an einer bestimmten Stelle stetig ist, dann wird diese Stelle zum Monotonie-Intervall dazugenommen!
Daher ist f echt monoton abnehmend im Intervall [mm] ]-\infty; [/mm] -1].
Analog: echt mon. zunehmend in [-1; 0[ (bei x=0 ist die Funktion ja nicht stetig!),
echt mon. abn. in ]0; +1] (stetig für x=1 !) und nochmal
echt mon zun. in [1; [mm] +\infty[.
[/mm]
> -oder berechne für jedes Intervall eine Ungleichung
>
Das ist zu umständlich! Aber Du könntest eine Vorzeichentabelle anlegen: Damit geht's am schnellsten. Nur: Die Intervallgrenzen musst Du Dir in jedem Fall extra überlegen! Das geht nicht über die 1. Ableitung!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mo 07.03.2005 | | Autor: | spy |
Hallo Zwerglein!
Wenn ich alles richtig verstanden habe, darf ich folgendermaße vorgehen um die Monotonie einer Funktion zu erklären:
1) Ich berechne alle Nullstellen von f'(x) und habe die lokalen Extrema
2) Ich suche nach Polstellen in f(x) und nach derem Vorzeichen, bzw. VZW.
3) Ich suche meine Intervalle und schreibe sie in eine Vorzeichentabelle
4) Je nachdem welche Funkton vorliegt. fülle ich die Tabelle. Für eine Funktion 6'ten Gerades z.B. beginne ich bei Minus (fallend für [mm] -\infty, [/mm] 1. Intervallgrenze)
5) Jedes Intervall bekommt das umgekehrte Vorzeichen vom vorherigen, wenn die Grenze eine Nullstelle von f'(x) war. Oder das Vorzeichen wechselt nicht, wenn es sich um eine +/- Polstelle handelt.
Btw.: Ich kann die Art der Polstellen doch nur über eine links- und rechtsseitige Grenzwertbetrachtung herausfinden, oder gibt es andere Möglichkeiten oder Regeln?
Vielen Dank schon einmal,
Stefan
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Hi, spy,
> Wenn ich alles richtig verstanden habe, darf ich
> folgendermaße vorgehen um die Monotonie einer Funktion zu
> erklären:
>
> 1) Ich berechne alle Nullstellen von f'(x) und habe die
> lokalen Extrema
(naja: manchmal auch Terrassenstellen!!)
> 2) Ich suche nach Polstellen in f(x) und nach derem
> Vorzeichen, bzw. VZW.
Vzw ist richtig!
> 3) Ich suche meine Intervalle und schreibe sie in eine
> Vorzeichentabelle
Empfehlenswert!
> 4) Je nachdem welche Funkton vorliegt. fülle ich die
> Tabelle. Für eine Funktion 6'ten Gerades z.B. beginne ich
> bei Minus (fallend für [mm]-\infty,[/mm] 1. Intervallgrenze)
Wirst kaum eine Funktion 6.Grades untersuchen müssen, vor allem nicht, wenn Polstellen drin sind! Vor allem: Setze immer Werte aus den entsprechenden Intervallen ein und rechne (sorgfältig!!) aus!
> 5) Jedes Intervall bekommt das umgekehrte Vorzeichen vom
> vorherigen, wenn die Grenze eine Nullstelle von f'(x) war.
Nur bei einfachen, dreifachen, fünffachen, etc!
Bei doppelten, 4-fachen, 6-fachen genau kein Vzw!
> Oder das Vorzeichen wechselt nicht, wenn es sich um eine
> +/- Polstelle handelt.
Hallo!!!
Bei einer +/- Polstelle wechselt das Vz (einfache, dreifache, etc.); bei einer +/+ oder -/- Polstelle (doppelte, vierfache etc) wechselt's wieder nicht!
(GANZ ANALOG ZU DEN NULLSTELLEN!!)
> Btw.: Ich kann die Art der Polstellen doch nur über eine
> links- und rechtsseitige Grenzwertbetrachtung herausfinden,
> oder gibt es andere Möglichkeiten oder Regeln?
>
Du musst den Funktionsterm immer kürzen!! Das ist wichtig!!
Wenn nach dem Kürzen IM NENNER Klammern der Art (x-1), [mm] (x-1)^{3}, [/mm] ... auftreten, hast Du einen Pol mit VZW.
(Der Zähler ist nach dem Kürzen WURSCHT!)
Wenn aber nach dem Kürzen IM NENNER Klammern wie [mm] (x-1)^{2}, (x-1)^{4}, [/mm] ... auftreten, hast Du einen Pol ohne VZW.
Aber pass auf: Terme wie x, [mm] x^{3} [/mm] etc. werden dabei wie (x-0), [mm] (x-0)^{3} [/mm] betrachtet!!
Alles klar?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo spy!
Warum hast du die Antwort von informix als "fehlerhaft" deklariert? Ich konnte keinen Fehler entdecken... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Edit: Okay, ich sehe es: An den Nullstellen von $f'$ muss $f$ nicht zwangsläufig sein Monotonieverhalten ändern. Nur frage ich mich, warum du den Fehler dann übernommen hast, wenn du ihn vorher kennzeichnest?
Und eine Funktion $f(x) = [mm] \frac{x}{x^2}$ [/mm] hat einen Pol in $x=0$, auch wenn $x=0$ eine Zähler- und Nennernullstelle ist. Wichtig ist also, dass es eine Nullstelle gleicher Ordnung ist.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:38 Di 08.03.2005 | | Autor: | spy |
Ähm, wollte die Antwort nicht als fehlerhaft deklarieren. Habe lediglich auf den falschen Knopf gedrückt.
Falls da wirklich was falsch ist, ich hab's nicht gesehen.
Sorry,
Stefan
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