Monotonie < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Thordar |
| Aufgabe | Untersuchen sie folgende Reihen auf Konvergenz:
[mm] \summe_{v=1}^{\infty}(-1)^v* \wurzel(v+1)-\wurzel(v) [/mm] |
Hi,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich will die Aufgabe mit dem Leibniz-Kriterium lösen, was ja naheliegend ist.
Hab zur Monotonie also die Differenz [mm] a_{v+1}-a_{v} [/mm] aufgestellt:
[mm] \wurzel(v+2)-\wurzel(v+1)-\wurzel(v+1)+\wurzel(v) [/mm] = [mm] \wurzel(v+2) [/mm] - [mm] 2*\wurzel(v+1)+\wurzel(v)
[/mm]
Zur Monotonie muss das ja im Betrag < 1 sein. Wir haben eh nur positive Summanden, also kann der Betrag weggelassen werden.
Jetzt wollte ich beide Seiten quadrieren, was ergibt:
(v+2) - (2v+2) + v < 1
Die linke Seite kürzt sich zur 0, was ja dann eine wahre Aussage ergibt.
Aber das bedeutet doch, dass die ursprüngliche Summe sich mit jedem Summanden um 0 verändert?! Das ist offensichtlich Falsch, wenn man sich die Funktion mal plottet.
Kann mir jemand sagen, wo mein Denkfehler ist?
Vielen Dank schonmal im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Fr 06.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen sie folgende Reihen auf Konvergenz:
> [mm]\summe_{v=1}^{\infty}(-1)^v* \wurzel(v+1)-\wurzel(v)[/mm]
> Hi,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich will die Aufgabe mit dem Leibniz-Kriterium lösen, was
> ja naheliegend ist.
> Hab zur Monotonie also die Differenz [mm]a_{v+1}-a_{v}[/mm]
> aufgestellt:
>
> [mm]\wurzel(v+2)-\wurzel(v+1)-\wurzel(v+1)+\wurzel(v)[/mm] =
> [mm]\wurzel(v+2)[/mm] - [mm]2*\wurzel(v+1)+\wurzel(v)[/mm]
>
> Zur Monotonie muss das ja im Betrag < 1 sein. Wir haben eh
> nur positive Summanden, also kann der Betrag weggelassen
> werden.
>
> Jetzt wollte ich beide Seiten quadrieren, was ergibt:
>
> (v+2) - (2v+2) + v < 1
Nein. Das ist völlig falsch ! Wie hast Du denn quadriert ????
FRED
>
> Die linke Seite kürzt sich zur 0, was ja dann eine wahre
> Aussage ergibt.
> Aber das bedeutet doch, dass die ursprüngliche Summe sich
> mit jedem Summanden um 0 verändert?! Das ist
> offensichtlich Falsch, wenn man sich die Funktion mal
> plottet.
> Kann mir jemand sagen, wo mein Denkfehler ist?
>
> Vielen Dank schonmal im Vorraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Thordar |
ach... da war der Fehler.. eine Wurzel lässt sich ja als ^1/2 darstellen, und ich hab deswegen beim quadrieren alle Wurzeln gestrichen, anstatt die gesamte Summe zu quadrieren.
Danke sehr. Manchmal steht man zu sehr auf dem Schlauch
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Hallo Thordar!
> [mm]\summe_{v=1}^{\infty}(-1)^v* \wurzel(v+1)-\wurzel(v)[/mm]
Lautet die Aufgabe wirklich so?
Oder doch nicht:
[mm]\summe_{v=1}^{\infty}(-1)^v* \left(\wurzel(v+1)-\wurzel(v)\right)[/mm]
Denn nur so macht die Anwendung von Herrn Leibniz Sinn, wie Du es berechnet hast.
Gruß vom
Roadrunner
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