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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:06 Sa 13.06.2015 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | Untersuchen Sie,ob die folgenden Funktionen monoton,streng monoton,fallend bzw. wachsend sind.(mit Begründung!)
$a) f: [mm] \IR^{\*}_{+} \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto x^{-1}$
[/mm]
$b) f: [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto x^3-x$
[/mm]
$c) f: [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto x^3+3x^2+3x+1$
[/mm]
$d) f: [mm] \IN_{0} \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto x^2-x$ [/mm] |
a)
streng monoton fallend auf [mm] $(0,\infty)$
[/mm]
[mm] $\forall x,y\in (0,\infty) [/mm] : x <y [mm] \rightarrow [/mm] f(x) > f(y)$
Bew.:
da [mm] $x,y\in (0,\infty) \Rightarrow [/mm] 0<x<y $
hilfsaussagen
$x >0 [mm] \Rightarrow \frac{1}{x}>0$
[/mm]
bew.: per wdspr.
angenommen
[mm] $\frac{1}{x}=0 \Rightarrow [/mm] 1 [mm] =\frac{1}{x}*x [/mm] = 0*x = 0$ wdspr
[mm] $\frac{1}{x}<0 \Rightarrow 1=\frac{1}{x}*x [/mm] <0$ wdpsr
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{x}>0$
[/mm]
$0<x<y [mm] \Rightarrow [/mm] 0< [mm] \frac{1}{y}< \frac{1}{x}*x \frac{1}{y} [/mm] < [mm] \frac{1}{x}*y* \frac{1}{y}= \frac{1}{x}$ \Rightarrow [/mm] ist monoton fallen da $0< [mm] \frac{1}{y}<\frac{1}{x}$
[/mm]
$b) f: [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto x^3-x$
[/mm]
behauptung:
$( [mm] -\infty [/mm] , [mm] -\frac{1}{\sqrt{3}}) [/mm] $ streng monoton steigend ,
[mm] $[-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$ [/mm] streng monoton fallend
[mm] $[\frac{1}{\sqrt{3}}, \infty)$ [/mm] streng monoton steigend
[mm] $1.\forall x,y\in [/mm] ( [mm] -\infty [/mm] , [mm] -\frac{1}{\sqrt{3}}) [/mm] : x <y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) < f(y)$
$x<y<0 [mm] \Rightarrow x
[mm] $2.\forall x,y\in $[-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$: [/mm] x <y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) >f(y)$
1.Fall $x<0$ und$ 0<y [mm] \Rightarrow [/mm] x<y [mm] \Rightarrow x^3 [/mm] > [mm] x^3-x >y^3 >y^3-y [/mm] $
2.Fall $x<y<0 [mm] \Rightarrow [/mm] x<y [mm] \Rightarrow [/mm] x-x < y-x < y-y [mm] \Rightarrow [/mm] x-x > [mm] x^3-x [/mm] > y-y > [mm] y^3-y [/mm] $
3.Fall $0<x<y | *(-1) 0>x>y 0> [mm] x^3-x >y^3-y$ [/mm] passt streng monoton fallend.
[mm] 3.$2.\forall x,y\in $[\frac{1}{\sqrt{3}}, \infty)$: [/mm] x <y [mm] \rightarrow [/mm] f(x) <f(y) [mm] x
$c) f: [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto x^3+3x^2+3x+1$
[/mm]
[mm] $x^3+3x^2+3x+1 [/mm] = [mm] (x+1)^3 [/mm] $
monton steigen auf ganz [mm] $\IR$
[/mm]
da $x+1$ monton wachsend ist und das $(x+1)*(x+1)*(x+1)$ auch monton wachsend jedoch nicht streng monton da bei der $-1$ so eine sattel stelle ist in der umgebung zwischen $-1,5$ und $-0,5$
$d) f: [mm] \IN_{0} \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto x^2-x$
[/mm]
ist auf [mm] [0,\frac{1}{2}) [/mm] monton fallend und auf [mm] (\frac{1}{2},\infty) [/mm] monton steigend
beweis
[mm] $1.\forall x,y\in $[0,\frac{1}{2})$: [/mm] x [mm] \le [/mm] y [mm] \rightarrow [/mm] f(x) [mm] \ge [/mm] f(y) 0 [mm] \ge [/mm] x [mm] \le [/mm] y |*(-1) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] y [mm] \Rightarrow x^2-x \ge y^2-y [/mm] $
[mm] $2.\forall x,y\in $(\frac{1}{2},\infty)$: [/mm] x [mm] \le [/mm] y [mm] \rightarrow [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] f(y)
[mm] \frac{1}{2}
bitte ich weis nicht ob hier irgendaws von richtig ist, wir dürfen die 1.ableitung nicht benutzen,deshalb bin ich ein bisschen lost :/
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Mo 15.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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