Monotonie, Grenzwert von Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{c_{1}a_{n}+c_{2}}
[/mm]
[mm] a_{1} [/mm] = 0
[mm] c_{1} \ge [/mm] 0
[mm] c_{2} \ge [/mm] 0
Zu zeigen sind Monotonie, Beschränkheit und Grenzwert der gegebenen Folge. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich steh bei dieser Angabe total an - wo fange ich bei so einer Aufgabe am besten an?
Ich wäre dankbar wenn mir jemand die ersten Schritte erklären könnte - in der Hoffnung dann allein weiter zu kommen...
Danke
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> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{c_{1}a_{n}+c_{2}}[/mm]
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> [mm]a_{1}[/mm] = 0
> [mm]c_{1} \ge[/mm] 0
> [mm]c_{2} \ge[/mm] 0
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> Zu zeigen sind Monotonie, Beschränkheit und Grenzwert der
> gegebenen Folge.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich steh bei dieser Angabe total an - wo fange ich bei so
> einer Aufgabe am besten an?
>
> Ich wäre dankbar wenn mir jemand die ersten Schritte
> erklären könnte - in der Hoffnung dann allein weiter zu
> kommen...
Hallo,
Du hast hier eine rekursiv defineirte Folge.
Die [mm] c_i [/mm] sind zwar beliebig, aber fest, also so, als stünden da irgendwelche Zahlen.
Um ein wenig besser durchzublicken, würde ich die Aufgabe erstmal für konkrete [mm] c_i [/mm] lösen, etwa für [mm] c_1 [/mm] =2 und [mm] c_2= [/mm] 5. Meist fällt das etwas leichter, und die Übertragung auf den allgemeineren Fall ist hinterher nicht so schwierig.
Gucken wir uns also an, was wir im konkreten Fall dastehen haben:
[mm] a_1:=0
[/mm]
[mm] a_{n+1}[/mm] [/mm] = [mm][mm] \wurzel{7*a_{n}+5}.
[/mm]
Offensichtlich sind alle Folgenglieder nichtnegativ.
Jetzt könntest Du zum Taschenrechner greifen und Dir erstmal (völlig unverbindlich!) einen Eindruck davon verschaffen, ob die Folge wächst oder fällt.
Das nächste, was Du tun könntest, wäre zu überlegen, welches der Grenzwert wäre - wenn es denn einen gibt.
Betrachte dazu die Rekursionsformel und bedenke, daß fü [mm] n\to \infty [/mm] sowohl [mm] a_n [/mm] als auch [mm] a_{n+1} [/mm] gegen diesen Grenzwert streben.
Hieraus könntest Du eine Idee bekommen, was eine obere Schranke sein könnte. Diese Idee muß natürlich bewiesen werden, Induktion wäre eine Idee.
Wenn Du das hast, kannst Du die Monotonie beweisen, ich denke, daß das Resultat für die obere Schranke dafür nützlich wäre - hab's aber nicht gerechnet.
Hast Du Beschränktheit und Monotonie, weißt Du, daß die Folge konvergiert. Den Grenzwert hast Du ja zuvor schon berechnet.
Versuch mal, ob Du auf diesem Weg ein Stückchen vorwärts kommst.
Gruß v. Angela
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Erstmal Danke!
Taschenrechner ist so eine Sache, die dürfen wir nämlich bei Prüfungen nicht verwenden!
Aber auch so sieht man dass diese Funktion wächst. Alternativ könnte ich das Ganze doch auch Differenzieren und zeigen dass die Folge wächst oder? Kann ich das einfach Differenzieren oder darf ich das überhaupt nicht?
Also wenn ich diese Folge so betrachte habe ich den Eindruck sie besitzt keinen Grenzwert. Da [mm] a_{n} [/mm] immer größer wird, steigt auch [mm] a_{n+1} [/mm] ...
Also soll ich mittels Induktion beweisen dass [mm] a_{n+1}>a_{n} [/mm] gilt und damit die Folge keinen Grenzwert im eigentlichen Sinn besitzt also bestimmt divergiert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo birdwittman!
Klammere bei Dir mal den Term [mm] $c_1$ [/mm] aus und Du erhältst exakt die Folge, welche hier ausgiebig diskutiert wurde (von dem Faktor mal abgesehen).
[mm] $$a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{c_1*a_n+c_2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{c_1*\left(a_n+\bruch{c_2}{c_1}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{c_1}*\wurzel{a_n+k} [/mm] \ \ \ [mm] \text{mit} [/mm] \ \ k \ := \ [mm] \bruch{c_2}{c_1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Also der Stand der Dinge:
Die Folge ist Monoton steigend. (Darf ich das jetzt eigentlich Differenzieren oder nicht?)
Die Folge ist genau dann beschränkt wenn [mm] c_{2} [/mm] = 0 ist. Dann ist der Limes ebenfalls 0.
Ist [mm] c_{2} \not= [/mm] 0 dann ist der Limes der Folge [mm] \infty [/mm] .
Ist das so Richtig oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo birdwittman!
> Die Folge ist Monoton steigend. (Darf ich das jetzt
> eigentlich Differenzieren oder nicht?)
Warum willst Du denn differenzieren?
> Die Folge ist genau dann beschränkt wenn [mm]c_{2}[/mm] = 0 ist.
> Dann ist der Limes ebenfalls 0.
>
> Ist [mm]c_{2} \not=[/mm] 0 dann ist der Limes der Folge [mm]\infty[/mm] .
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das stimmt so nicht. Hast Du Dir denn mal den Thread druchgelesen, dessen Link ich oben gepostet hatte?
Frage mit Diskussion [mm] $\leftarrow$ [i]click it![/i]
Gruß
Loddar
[/mm]
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> Die Folge ist Monoton steigend. (Darf ich das jetzt
> eigentlich Differenzieren oder nicht?)
Hallo,
wenn in der Vorlesung Differentiation bereits behandelt wurde, darfst Du differenzieren, wenn nicht, dann halt nicht. Du darfst nur verwenden, was in der Vorlesung dran war, und Aufgaben wie Deine werden üblicherweise zu einem Zeitpunkt gestellt, zu welchem noch einige Hürden zu überwinden sind, bis man bei der Differentiation ist.
Gruß v. Angela
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