Monotonie Grenzwerte < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Do 14.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
| Aufgabe | Sei f: (a,b) [mm] \rightarrow \IR [/mm] monoton. Zeigen Sie
a) Zu jedem [mm] \gamma \in [/mm] (a,b) existieren [mm] \limes_{x\rightarrow\gamma_+}=:f_{+}(\gamma) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\gamma_-}=:f_{-}(\gamma).
[/mm]
b) Die Menge [mm] {\gamma \in (a,b) : f_{+}(\gamma)\not=f_{-}(\gamma)} [/mm] ist abzählbar |
Hallo Ihr.
also zu a)
weis ich garnicht genau, was ich da zeigen soll, das die Grenzwerte existeren???
b) da die Funktion monoton ist --> f ist injektiv
also existiert auch eine bijektive Abb J: [mm] \IN \rightarrow [/mm] X
somit abzählbar
Also bitte gebt mir mal einen Tipp zu den Aufgaben.
Dankeschön und ein schönes Wochenende
Tschüß sagt Röby
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> Sei f: (a,b) [mm]\rightarrow \IR[/mm] monoton. Zeigen Sie
>
> a) Zu jedem [mm]\gamma \in[/mm] (a,b) existieren
> [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma_+}=:f_{+}(\gamma)[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma_-}=:f_{-}(\gamma).[/mm]
>
> b) Die Menge [mm]{\gamma \in (a,b) : f_{+}(\gamma)\not=f_{-}(\gamma)}[/mm]
> ist abzählbar
> Hallo Ihr.
>
> also zu a)
>
> weis ich garnicht genau, was ich da zeigen soll, das die
> Grenzwerte existeren???
Hallo,
ja, Du sollst zeigen, daß an jeder Stelle im Intervall der Grenzwert von rechts und der von links existiert. (Die beiden Grenzwerte sind nicht notwendigerweise gleich oder gleich dem Funktionswert. Schau Dir Funktionen mit Sprungstellen an.)
Schau Dir zuerst an, wie diese Grenzwerte definiert sind, das gibt das weitere Vorgehen schon fast vor.
Nimm Dir für den Beweis eine monotone Funktion, sie sei monoton wachsend (falend geht analog).
Nun schau Dir die Stelle [mm] \gamma [/mm] an.
Betrachte eine beliebige Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n \in [/mm] (a,b), [mm] x_n> \gamma [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n= \gamma.
[/mm]
Diese Folge nähert sich [mm] \gamma [/mm] von oben.
Nun betrachte die Folge (f( [mm] x_n)).
[/mm]
Sie ist monoton fallend (warum) und nach unten beschränkt(durch was?). Also ist sie ???
Analog für den Grenzwert von unten.
b) Die Menge [mm]{\gamma \in (a,b) : f_{+}(\gamma)\not=f_{-}(\gamma)}[/mm]
> ist abzählbar
Hier geht es darum, daß die Funktion nur abzählbar viele Sprungstellen hat.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela.
Vielen Dank für deine Antwort, aber nochmal ein paar Fragen
> Schau Dir zuerst an, wie diese Grenzwerte definiert sind,
> das gibt das weitere Vorgehen schon fast vor.
>
> Nimm Dir für den Beweis eine monotone Funktion, sie sei
> monoton wachsend (fallend geht analog).
>
> Nun schau Dir die Stelle [mm]\gamma[/mm] an.
>
> Betrachte eine beliebige Folge [mm](x_n)[/mm] mit [mm]x_n \in[/mm] (a,b),
> [mm]x_n> \gamma[/mm] und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n= \gamma.[/mm]
müsste das nicht [mm]x_n> \gamma[/mm] und [mm]\limes_{n\rightarrow\gamma_+}x_n= \gamma.[/mm] heißen, da sich die Funktion von unendlich an [mm] \gamma [/mm] annähert, also der rechtsseitige GW???
> Diese Folge nähert sich [mm]\gamma[/mm] von oben.
> Nun betrachte die Folge (f( [mm]x_n)).[/mm]
>
> Sie ist monoton fallend (warum)
gute Frage, du sie fallend ist, ist ja klar, da sich [mm] f(x_n) \gamma [/mm] annähert und [mm] x_n>\gamma
[/mm]
> und nach unten
> beschränkt(durch was?).
durch [mm] \gamma
[/mm]
> Also ist sie ???
konvergent, oder???
>
> Analog für den Grenzwert von unten.
>
das ist klar
> b) Die Menge [mm]{\gamma \in (a,b) : f_{+}(\gamma)\not=f_{-}(\gamma)}[/mm]
> > ist abzählbar
>
> Hier geht es darum, daß die Funktion nur abzählbar viele
> Sprungstellen hat.
da f monoton ist --> f injektiv
Sei [mm]X:={\gamma\in(a,b):f_+(\gamma)\not=f_-(\gamma)}[/mm]
da f stetig ist [mm] \Rightarrow f_+(\gamma)=f_-(\gamma) \forall \gamma\in(a,b)
[/mm]
also [mm] X=\emptyset \Rightarrow [/mm] abzählbar
so was hältst du von meiner Lösung, bzw die Idee???
Dankeschön für deine Mühe und ein schönes Wochenende.
Tschüß sagt Röby
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> > Nimm Dir für den Beweis eine monotone Funktion, sie sei
> > monoton wachsend (fallend geht analog).
> >
> > Nun schau Dir die Stelle [mm]\gamma[/mm] an.
> >
> > Betrachte eine beliebige Folge [mm](x_n)[/mm] mit [mm]x_n \in[/mm] (a,b),
> > [mm]x_n> \gamma[/mm] und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n= \gamma.[/mm]
>
> müsste das nicht [mm]x_n> \gamma[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\gamma_+}x_n= \gamma.[/mm] heißen, da sich
> die Funktion von unendlich an [mm]\gamma[/mm] annähert, also der
> rechtsseitige GW???
Hallo,
ich habe mir eine Folge genommen mit der Eigenschaft, daß die Folgenglieder [mm] >\gamma [/mm] sind und daß die Folge gegen [mm] \gamma [/mm] konvergiert. D.h. : mit wachsendem n rücken die Folgenglieder beliebig dicht an [mm] \gamma [/mm] heran. Daher [mm] "n\rightarrow\infty".
[/mm]
(Ah! Gerade jetzt im Moment fällt Dir ein, was Du Dir bei Deiner Frage gedacht hast... Nein, ich betrachte im Moment nicht $ [mm] \limes_{x\rightarrow\gamma_+}=:f_{+}(\gamma) [/mm] $ . Ich bin noch auf der x-Achse. Habe mir dort eine Folge gesucht. Es hat mein [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n= \gamma [/mm] zunächst wenig mit [mm] \limes_{x\rightarrow\gamma_+}=:f_{+}(\gamma) [/mm] zu tun, und keinesfalls will ich die Gleichheit zeigen.)
Noch eine Bemerkung zu "betrachte eine beliebige Folge, die von oben gegen [mm] \gamma [/mm] konvergiert": man müßte eigentlich kurz darüber nachdenken, ob es prinzipiell überhaupt solch eine Folge gibt, sonst wäre ja die ganze Beweiserei sinnlos... (Es gibt sie.)
>
> > Diese Folge nähert sich [mm]\gamma[/mm] von oben.
> > Nun betrachte die Folge (f( [mm]x_n)).[/mm]
> >
> > Sie ist monoton fallend (warum)
>
> gute Frage, du sie fallend ist, ist ja klar, da sich [mm]f(x_n) \gamma[/mm]
> annähert und [mm]x_n>\gamma[/mm]
Ich hoffe, Du meinst das Richtige...
Es nähert sich natürlich nicht [mm] f(x_n) [/mm] an [mm] \gamma [/mm] an.
Aber: [mm] x_{n+1}
Daher ist die Folge [mm] f(x_n) [/mm] fallend.
>
> > und nach unten
> > beschränkt(durch was?).
>
> durch [mm]\gamma[/mm]
Nein. Die Folge [mm] x_n [/mm] ist durch [mm] \gamma [/mm] beschränkt, aber wir betrachten im Moment [mm] f(x_n).
[/mm]
>
> > Also ist sie ???
>
> konvergent, oder???
Es bleibt Ihr nichts anderes übrig.
>
> > b) Die Menge [mm]{\gamma \in (a,b) : f_{+}(\gamma)\not=f_{-}(\gamma)}[/mm]
> > > ist abzählbar
> >
> > Hier geht es darum, daß die Funktion nur abzählbar viele
> > Sprungstellen hat.
>
> da f monoton ist --> f injektiv
Bei strenger Monotonie stimmt das.
>
> Sei [mm]X:=\{\gamma\in(a,b):f_+(\gamma)\not=f_-(\gamma)\}[/mm]
>
> da f stetig ist [mm]\Rightarrow f_+(\gamma)=f_-(\gamma) \forall \gamma\in(a,b)[/mm]
Wie kommst Du darauf, daß f stetig ist???
Das steht nirgendwo!
(Hatten wir Stetigkeit vorausgesetzt, wären wir bei a. ja auch schnell fertig)
>
> also [mm]X=\emptyset \Rightarrow[/mm] abzählbar
>
> so was hältst du von meiner Lösung, bzw die Idee???
Aus dem obigen Grund: nichts!
Leider allerdings habe ich im Moment auch keine funktionierende Alternative anzubieten, obgleich mir der Sachverhalt intiutiv klar ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Fr 15.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
Hallo nochmal.
Also Ich habe das mal mit der GW Def probiert
[mm] \forall \epsilon>0 \ \ \exists n_0\in\IN \ \ |x_n-x|<\epsilon \ \ \forall n\ge n_0 [/mm]
o.B.d.A. f monoton wachsend
so sei jetzt [mm] (x_n)\in(a,b) [/mm] mit [mm] x_n>\gamma [/mm] monoton fallend und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(x_n)=\gamma
[/mm]
da [mm] x_n>x_{n+1} [/mm] und f monoton --> [mm] f(x_n)>f(x_{n+1})
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(x_n)=\gamma \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x_n))=f(\gamma):=\alpha
[/mm]
[mm] \forall \epsilon>0 \ \ \exists n_0\in\IN \ \ |f(x_n)-\alpha|<\epsilon \ \ \forall n\ge n_0 [/mm]
somit existiert der Rechsseitige GW
[mm] \limes_{x\rightarrow\gamma_+}(f(x)=\alpha
[/mm]
das selbe würde ich jetzt für den linksseitigen GW machen
so sei jetzt [mm] (x_n)\in(a,b) [/mm] mit [mm] x_n<\gamma [/mm] monoton wachsend und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(x_n)=\gamma
[/mm]
da [mm] x_n
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(x_n)=\gamma \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x_n))=f(\gamma):=\beta
[/mm]
[mm] \forall \epsilon>0 \ \ \exists n_0\in\IN \ \ |f(x_n)-\beta|<\epsilon \ \ \forall n\ge n_0 [/mm]
somit existiert der Linksseitige GW
[mm] \limes_{x\rightarrow\gamma_-}(f(x)=\beta
[/mm]
So, was meinst du dazu 
Danke nochmal für dein Mühe, habe echt Respekt vor dir !!!
zu b mach ich mir noch ein paar Gedanken.
Tschüß und einen schönen Abend
wünscht Röby
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> Also Ich habe das mal mit der GW Def probiert
>
> [mm]\forall \epsilon>0 \ \ \exists n_0\in\IN \ \ |x_n-x|<\epsilon \ \ \forall n\ge n_0[/mm]
Also, es ehrt Dich wirklich, daß Du freiwillig ein [mm] \varepsilon [/mm] verwenden willst, und es ist wirklich gut und wichtig, daß Du diese Definition kannst. Aber HIER können wir darauf verzichten.
> o.B.d.A. f monoton wachsend
>
so sei jetzt [mm](x_n) eine Folge aus (a,b)[/mm] mit [mm]x_n>\gamma[/mm], monoton fallend
> und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(x_n)=\gamma[/mm]
>
da [mm]x_n>x_{n+1}[/mm] und f monoton wachsend --> [mm]f(x_n)>f(x_{n+1})[/mm]
Also ist die Folge [mm] (f(x_n)) [/mm] monoton fallend.
Da für alle n [mm] x_n\ge \gamma, [/mm] und da f monoton wächst, gilt: [mm] f(x_n)\ge f(\gamma)
[/mm]
Das heißt: die Folge ist nach unten beschränkt.
[mm] (f(x_n)) [/mm] monoton fallend und beschränkt ==> [mm] (f(x_n)) [/mm] konvergiert,
d.h. es gibt ein [mm] \alpha \in [/mm] (a,b) mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\alpha.
[/mm]
Bis hierher ist gezeigt, daß jede Folge [mm] f(x_n), [/mm] die entsprechend gebaut ist, konvergiert.
Nun wäre darüber nachzudenken, ob all solche Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren,
(Möglicherweise kannst/mußt Du hier sogar die [mm] \varepsilon-Def. [/mm] verwenden!)
Wenn das gezeigt ist, weiß man, daß der rechtseitige Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\gamma^+}f(x) [/mm] existiert.
> das selbe würde ich jetzt für den linksseitigen GW machen
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Sa 16.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
Guten Morgen.
Also ich probiere es jetzt mal mit dem linksseitigen GW
sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in (a,b) mit [mm] x_n<\gamma [/mm] und [mm] x_n
d.h. die Folge ist monoton wachsend und hat den GW [mm] \gamma.
[/mm]
[mm] (x_n)<(x_{n+1}) [/mm] --> da f monoton --> [mm] f(x_n)
[mm] \Rightarrow f(x_n) [/mm] ist monoton wachsend
[mm] x_n\le\gamma [/mm] --> f monoton --> [mm] f(x_n)\le f(\gamma)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(x_n) [/mm] nach oben beschränkt durch [mm] f(\gamma)
[/mm]
[mm] f(x_n) [/mm] monoton wachsend und beschränkt [mm] \Rightarrow f(x_n) [/mm] konvergent
[mm] \Rightarrow \exists \beta\in(a,b):\limes_{n\rightarrow\infty}(f(x_n)=\beta
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall\epsilon>0 \exists n_0\in\IN:|f(x_n)-\beta|<\epsilon \forall n\ge n_0
[/mm]
also existier der linksseitige GW
[mm] \limes_{x\rightarrow\gamma_-}(f(x)=\beta
[/mm]
analog rechtsseitige GW
so und wis schauts nun aus????
Tschüß und einen schönen Samstag
Röby
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> Also ich probiere es jetzt mal mit dem linksseitigen GW
>
> sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge in (a,b) mit [mm]x_n<\gamma[/mm] und
> [mm]x_n
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(x_n)=\gamma[/mm]
>
> d.h. die Folge ist monoton wachsend und hat den GW [mm]\gamma.[/mm]
>
> [mm](x_n)<(x_{n+1})[/mm] ,
und da f monoton wachsend
--> [mm]f(x_n)
>
> [mm]\Rightarrow f(x_n)[/mm] ist monoton wachsend
>
> [mm]x_n\le\gamma[/mm]
und f monoton wachsend
> -> [mm]f(x_n)\le f(\gamma)[/mm]
> [mm]\Rightarrow f(x_n)[/mm] nach oben beschränkt durch [mm]f(\gamma)[/mm]
>
> [mm]f(x_n)[/mm] monoton wachsend und beschränkt [mm]\Rightarrow f(x_n)[/mm]
> konvergent
>
> [mm][mm] \Rightarrow \exists \beta\in(a,b):->[/mm] [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)[/mm][mm] =\beta
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \forall\epsilon>0 \exists n_0\in\IN:|f(x_n)-\beta|<\epsilon \forall n\ge n_0[/mm]
(Das ist eine verzichtbare Umformulierung der bereits festgestellten Existenz diese Grenzwertes)
>
> also existier der linksseitige GW
Nein, so kann man leider (wie in einem vorhergehenden Post erwähnt) nicht schließen.
Wir wissen bis jetzt zwar, daß für jede solcher Folgen der Grenzwert existiert, aber daß tatsächlich alle Folgen dieser Machart gegen denselben Grenzwert laufen, haben wir noch nicht gezeigt.
Man müßte noch untersuchen, ob es sein kann, daß eine Folge gleicher Machart gegen einen anderen Wert als [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) [/mm] konvegieren kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Sa 16.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
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> > Also ich probiere es jetzt mal mit dem linksseitigen GW
> >
> > sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge in (a,b) mit [mm]x_n<\gamma[/mm] und
> > [mm]x_n
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(x_n)=\gamma[/mm]
> >
> > d.h. die Folge ist monoton wachsend und hat den GW [mm]\gamma.[/mm]
> >
> > [mm](x_n)<(x_{n+1})[/mm] ,
>
> und da f monoton wachsend
>
> --> [mm]f(x_n)
> >
> > [mm]\Rightarrow f(x_n)[/mm] ist monoton wachsend
> >
> > [mm]x_n\le\gamma[/mm]
>
> und f monoton wachsend
>
> > -> [mm]f(x_n)\le f(\gamma)[/mm]
> > [mm]\Rightarrow f(x_n)[/mm] nach oben
> beschränkt durch [mm]f(\gamma)[/mm]
> >
> > [mm]f(x_n)[/mm] monoton wachsend und beschränkt [mm]\Rightarrow f(x_n)[/mm]
> > konvergent
> >
> > [mm][mm]\Rightarrow \exists \beta\in(a,b):->[/mm] [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)[/mm][mm] =\beta[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \forall\epsilon>0 \exists n_0\in\IN:|f(x_n)-\beta|<\epsilon \forall n\ge n_0[/mm]
> (Das ist eine verzichtbare Umformulierung der bereits festgestellten Existenz diese Grenzwertes)
>
> also existier der linksseitige GW
> Nein, so kann man leider (wie in einem vorhergehenden Post erwähnt) nicht schließen.
> Wir wissen bis jetzt zwar, daß für jede solcher Folgen der Grenzwert existiert, aber daß tatsächlich alle Folgen dieser Machart gegen denselben Grenzwert laufen, haben wir noch nicht gezeigt.
> Man müßte noch untersuchen, ob es sein kann, daß eine Folge gleicher Machart gegen einen anderen Wert als [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)[/mm] konvegieren kann.
Also hier weiß ich echt nicht weiter.
Man nimmt ja eine beleibige Folge [mm] (x_n)\in [/mm] (a,b) und weißt nach, das sie, wenn sie von Links an [mm] \gamma [/mm] sich annähert einen GW hat.
Dabei kann es ja keine Ausnahmen geben !?!
Die Folge kann ja beliebig angepasst werden, so das sie immer gegen [mm] \gamma (\in(a,b)) [/mm] konvergiert.
Also reicht das denn nicht so???
Danke nochmals für deine Mühen.
Tschüß sagt Röby
Gruß v. Angela
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> >
> > > Also ich probiere es jetzt mal mit dem linksseitigen GW
> > >
> > > sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge in (a,b) mit [mm]x_n<\gamma[/mm] und
> > > [mm]x_n
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(x_n)=\gamma[/mm]
> > >
> > > d.h. die Folge ist monoton wachsend und hat den GW [mm]\gamma.[/mm]
> > >
> > > [mm](x_n)<(x_{n+1})[/mm] ,
> >
> > und da f monoton wachsend
> >
> > --> [mm]f(x_n)
> > >
> > > [mm]\Rightarrow f(x_n)[/mm] ist monoton wachsend
> > >
> > > [mm]x_n\le\gamma[/mm]
> >
> [mm]\Rightarrow \forall\epsilon>0 \exists n_0\in\IN:|f(x_n)-\beta|<\epsilon \forall n\ge n_0[/mm]
> (Das ist eine verzichtbare Umformulierung der bereits festgestellten Existenz diese Grenzwertes)
>
> also existier der linksseitige GW
> Nein, so kann man leider (wie in einem vorhergehenden Post erwähnt) nicht schließen.
> Wir wissen bis jetzt zwar, daß für jede solcher Folgen der Grenzwert existiert, aber daß tatsächlich alle Folgen dieser Machart gegen denselben Grenzwert laufen, haben wir noch nicht gezeigt.
> Man müßte noch untersuchen, ob es sein kann, daß eine Folge gleicher Machart gegen einen anderen Wert als [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)[/mm] konvegieren kann.
Also hier weiß ich echt nicht weiter.
Man nimmt ja eine beleibige Folge [mm](x_n)\in[/mm] (a,b) und weißt nach, das sie, wenn sie von Links an [mm]\gamma[/mm] sich annähert einen GW hat.
Dabei kann es ja keine Ausnahmen geben !?!
Die Folge kann ja beliebig angepasst werden, so das sie immer gegen [mm]\gamma (\in(a,b))[/mm] konvergiert.
Hu, halt, Hilfe!
Paß' ein bißchen auf, worüber Du redest: ob über die Folge [mm] (x_n) [/mm] oder über die [mm] Folge(f(x_n)).
[/mm]
Die Folgen [mm] (x_n) [/mm] sind ja so ausgesucht, daß sie von einer einer Seite kommen und gegen [mm] \gamma [/mm] konvergieren. Das steht nicht zur Debatte.
Wir haben sogar schon gezeigt, daß für alle solche Folgen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) [/mm] existiert!
Das einzige, was uns noch fehlt ist, daß dieser Grenzwert ein und derselbe ist für sämtliche Folgen [mm] (x_n) [/mm] mit der entsprechenden Eigenschaft.
Nur dann hat es ja Sinn von [mm] \limes_{x\rightarrow\gamma^-} [/mm] zu reden.
Möglicherweise hängt Deine Ratlosigkeit damit zusammen, daß Du eine andere (wenn auch äquivalente) Definition von [mm] \limes_{x\rightarrow\a}f(x)=b [/mm] im Hinterkopf hast.
Die Definition, mit welcher ich die ganze Zeit mehr oder (eher!) weniger stillschweigend arbeite, ist die:
[mm] \limes_{x\rightarrow\a}f(x)=b [/mm]
<==>
für jede Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n [/mm] ---> a gilt [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x)=b
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Sa 16.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
> Hu, halt, Hilfe!
>
> Paß' ein bißchen auf, worüber Du redest: ob über die Folge
> [mm](x_n)[/mm] oder über die [mm]Folge(f(x_n)).[/mm]
> Die Folgen [mm](x_n)[/mm] sind ja so ausgesucht, daß sie von einer
> einer Seite kommen und gegen [mm]\gamma[/mm] konvergieren. Das steht
> nicht zur Debatte.
>
> Wir haben sogar schon gezeigt, daß für alle solche Folgen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)[/mm] existiert!
>
> Das einzige, was uns noch fehlt ist, daß dieser Grenzwert
> ein und derselbe ist für sämtliche Folgen [mm](x_n)[/mm] mit der
> entsprechenden Eigenschaft.
>
> Nur dann hat es ja Sinn von [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma^-}[/mm]
> zu reden.
>
> Möglicherweise hängt Deine Ratlosigkeit damit zusammen, daß
> Du eine andere (wenn auch äquivalente) Definition von
> [mm]\limes_{x\rightarrow\a}f(x)=b[/mm] im Hinterkopf hast.
> Die Definition, mit welcher ich die ganze Zeit mehr oder
> (eher!) weniger stillschweigend arbeite, ist die:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\a}f(x)=b[/mm]
> <==>
> für jede Folge [mm](x_n)[/mm] mit [mm]x_n[/mm] ---> a gilt
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}f(x)=b[/mm]
>
>
> Gruß v. Angela
>
Also das war mir jetzt völlig fremd.
ich werde es sicher nicht einsehen aber
wenn [mm] x_n [/mm] gegen [mm] \gamma [/mm] konvergiert und [mm] f(x_n) [/mm] auch
dann muss es doch gegen [mm] f(\gamma) [/mm] konvergieren,
[mm] a<\gamma
da [mm] x_n [/mm] eine Folge in (a,b) ist, die kleiner gleich als [mm] \gamma [/mm] ist
also [mm] a
[mm] \Rightarrow [/mm] also ist [mm] (x_n) [/mm] jede beliebige Folge, die von links an der GW [mm] \gamma [/mm] herankommt
also was steht da jetzt noch in Frage???
Dank dir
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> ich werde es sicher nicht einsehen aber
>
> wenn [mm]x_n[/mm] gegen [mm]\gamma[/mm] konvergiert und [mm]f(x_n)[/mm] auch
> dann muss es doch gegen [mm]f(\gamma)[/mm] konvergieren,
Himmel, neiiiiiiiiiiiiin!!!!!
Das gilt für STETIGE Funktionen!
Guck dir doch mal diese Funktion an:
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } 0\le x<1 \mbox{ } \\ 2, & \mbox{für } x=1 \mbox{ }\\ x+3, & \mbox{für } x>1 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
> also was steht da jetzt noch in Frage???
Für mich, wie gesagt, ob sämtliche Folgen [mm] (f(x_n)) [/mm] mit [mm] x_n \to \gamma [/mm] gegen denselben Grenzwert konvergieren.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela.
> Für mich, wie gesagt, ob sämtliche Folgen [mm](f(x_n))[/mm] mit [mm]x_n \to \gamma[/mm]
> gegen denselben Grenzwert konvergieren.
>
mir fällt hierzu wirklich nix ein.
Bitte kannst du mir da mal helfen?!?
Tschüß sagt Röby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Di 19.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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