Monotonie abh. von Parametern < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:03 Sa 21.05.2005 | | Autor: | NacysLuv |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir haben vor kurzem mit Monotonie der Ableitungen angefangen, womit ich auch ganz gut zurecht komme. Nur meine jetzige Hausaufgabe bereitet mir Probleme und ich gehe davon aus, dass es hier mit Sicherheit Leute gibt, die mir helfen könnten. Ich wäre sehr dankbar!
Die Aufgabe lautet:
Gib das Monotonieverhalten der Funktion f in Abhängigkeit von den Parametern a, b (ungleich 0) an.
a) f(x)= [mm] a*x^n
[/mm]
b) [mm] f(x)=\bruch{a}{x}
[/mm]
c) [mm] f(x)=a*\wurzel{x}+x
[/mm]
d) [mm] f(x)=a*\wurzel{x}+\bruch{b}{x}
[/mm]
Falls jemand die Lösungen schnell parat hat, wäre das natürlich total super, aber ich wäre schon froh, wenn ich überhaupt verstehen würde, wie ich das machen soll. Denn besonders solche Aufgaben ohne konkrete Zahlen sind für mich nie so leicht ;)
Danke im voraus!
NacysLuv
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Bianca.
Monoton steigend in einem bestimmten Intervall ist eine Funktion genau dann, wenn ihre erste Ableitung in diesem Intervall größer gleich Null ist. Analog dazu ist sie in einem Intervall genau dann monoton fallend, wenn ihre Ableitung in diesem Intervall nur Werte kleiner gleich Null annimmt. Du musst also die Ableitungen der dir gegebenen Funktionen bestimmen und prüfen, wann diese positiv und wann negativ sind. Dabei musst du, das ist ja gerade das Neue an der Aufgabe, das Ganze in Abhängigkeit von a durchführen. Ich zeige dir mal an der ersten Funktion, wie das funktinoiert.
Es ist [mm] $f:\IR\to\IR$ $x\mapsto a\cdot x^n$ [/mm] [ich nehme im Folgenden [mm] $n\in\IN$ [/mm] an]. Dann ist [mm] $f'(x)=n\cdot a\cdot x^{n-1}$. [/mm] So, für [mm] $x\geq [/mm] 0$ ist [mm] $x^{n-1}\geq [/mm] 0$. Ist zudem [mm] $a\geq [/mm] 0$, so folgt [mm] $f'(x)\geq [/mm] 0$ für alle [mm] $x\geq [/mm] 0$. Die Funktion ist also für [mm] $x,a\geq [/mm] 0$ im Intervall [mm] $[0,\infty)$ [/mm] monoton steigend. Ist hingegen [mm] $a\leq [/mm] 0, [mm] x\geq [/mm] 0$, so folgt [mm] $n\cdot a\cdot x^{n-1}\leq [/mm] 0$, die Funktion ist also im Intervall [mm] $[0,\infty]$ [/mm] monoton fallend. Betrachten wir nun diejenigen [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit [mm] $x\leq [/mm] 0$ und nehmen wir an, $n$ sei ungerade, $n-1$ daher gerade. Dann ist [mm] $x^{n-1}\geq [/mm] 0$ und, wie vorher, die Funktion $f$ für [mm] $a\geq [/mm] 0$ im Intervall [mm] $(-\infty,0]$ [/mm] streng monoton steigend, für [mm] $a\leq [/mm] 0$ im Intervall [mm] $(-\infty,0]$ [/mm] streng monoton fallend. Ist hingegen $n$ gerade und damit $n-1$ ungerade, so ist für [mm] $x\leq [/mm] 0$ auch [mm] $x^{n-1}\leq [/mm] 0$; dann ist $f$ für [mm] $a\leq [/mm] 0$ im Intervall [mm] $(-\infty,0]$ [/mm] monoton steigend, denn es ist [mm] $n\cdot a\cdot x^{n-1}\geq [/mm] 0$ (denn es ist [mm] $a,x\leq [/mm] 0$ und $n-1$ ungerade), für [mm] $a\geq [/mm] 0$ jedoch im Intervall [mm] $(-\infty,0]$ [/mm] monoton fallend, denn dann ist [mm] $n\cdot a\cdot x^{n-1}\leq [/mm] 0$ (denn es ist [mm] $a\geq [/mm] 0, [mm] x\leq [/mm] 0$).
Siehst du nun, wie das Ganze läuft?
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Sa 21.05.2005 | | Autor: | NacysLuv |
Danke für dieses ausführliche Beispiel. Werde mir das noch genauer anschauen und versuchen, das auf die anderen Aufgaben anzuwenden.
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