Monotonie beweisen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Funktion f: I [mm] \subset \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] hat in einem Punkt [mm] x_0 \in [/mm] I ein lokales Minimum bzw. Maximum, wenn es ein [mm] \delta [/mm] > 0 gibt mit f(x) [mm] \ge f(x_0) [/mm] bzw. f(x) [mm] \le f(x_0) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] I mit [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
Sei f: [a,b] -> [mm] \IR [/mm] eine stetige Funktion, die in keinem Punkt x [mm] \in [/mm] (a,b) ein lokales Minimum bzw. Maximum besitzt. Zeigen Sie, dass f auf [a,b] monoton ist. |
Hallo,
ich weiß leider nicht, wie ich das beweisen soll.
Dort steht f ist stetig. Also gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow x_0} [/mm] f(x) = [mm] f(x_0) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a,b]
Jetzt habe ich mir gedacht, ich mache ein Fallunterscheidung um die Monotonie zu beweisen.
1. Fall f'(x) > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b] (monoton steigend)
2. Fall f'(x) < 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b] (monoton fallend)
Wie kann ich hier am besten anfangen?
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Mi 13.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Eine Funktion f: I [mm]\subset \IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] hat in einem Punkt
> [mm]x_0 \in[/mm] I ein lokales Minimum bzw. Maximum, wenn es ein
> [mm]\delta[/mm] > 0 gibt mit f(x) [mm]\ge f(x_0)[/mm] bzw. f(x) [mm]\le f(x_0)[/mm]
> für alle x [mm]\in[/mm] I mit [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm]
>
> Sei f: [a,b] -> [mm]\IR[/mm] eine stetige Funktion, die in keinem
> Punkt x [mm]\in[/mm] (a,b) ein lokales Minimum bzw. Maximum besitzt.
> Zeigen Sie, dass f auf [a,b] monoton ist.
> Hallo,
> ich weiß leider nicht, wie ich das beweisen soll.
> Dort steht f ist stetig. Also gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}[/mm]
> f(x) = [mm]f(x_0)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] [a,b]
>
> Jetzt habe ich mir gedacht, ich mache ein
> Fallunterscheidung um die Monotonie zu beweisen.
>
> 1. Fall f'(x) > 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [a,b] (monoton steigend)
>
> 2. Fall f'(x) < 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [a,b] (monoton fallend)
Nee, mit der Ableitung kannst Du nicht kommen, denn f ist nicht als differenzierbar vorausgesetzt.
>
> Wie kann ich hier am besten anfangen?
Widerspruchsbeweis.
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
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Hallo,
also ich gehe davon aus, dass f nicht monoton ist. Dann muss ich ja die Definition für die Monotonie irgendwie benutzen(und zum Widerspruch führen), ich komme also an der Ableitung nicht vorbei. Wie kann ich das anstellen?
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Hallo,
> Hallo,
> also ich gehe davon aus, dass f nicht monoton ist. Dann
> muss ich ja die Definition für die Monotonie irgendwie
> benutzen(und zum Widerspruch führen),
Ja
> ich komme also an
> der Ableitung nicht vorbei.
Wieso das denn?
Monotonie ist doch nicht über die Ableitung definiert ...
Wie lautet die Definition?
> Wie kann ich das anstellen?
Gruß
schachuzipus
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Hi,
stimmt, geht auch ohne Ableitung:
Zum Beispiel monoton steigend: [mm] x,x_0 \in [/mm] [a,b] mit x [mm] \le x_0 [/mm] : f(x) [mm] \le f(x_0)
[/mm]
Sehe trotzdem irgendwie nicht den roten Faden, stehe auf dem Schlauch.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Mi 13.01.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Hi,
> stimmt, geht auch ohne Ableitung:
>
> Zum Beispiel monoton steigend: [mm]x,x_0 \in[/mm] [a,b] mit x [mm]\le x_0[/mm]
> : f(x) [mm]\le f(x_0)[/mm]
>
>
> Sehe trotzdem irgendwie nicht den roten Faden, stehe auf
> dem Schlauch.
Huhu,
du bist doch schon fast da. Ich skizziere hier 'mal kurz (bitte ueber Details selbst Gedanken machen) fuer beispielsweise (nicht) monoton steigend:
Wenn $f$ also nicht in $[a,b]$ steigend ist, heisst das doch, dass es ein Paar [mm] $x_0,u \in [/mm] [a,b]$ gibt mit
[mm] $f(u)\le f(x_0)$ [/mm] fuer [mm] $u\ge x_0$.
[/mm]
Da wir Monotonie ausschliessen, kann $f$ auch nicht monoton fallend sein, also muss es auch ein Paar [mm] $v,x_1\in [/mm] [a,b]$ geben, so dass
[mm] $f(v)\le f(x_1)$ [/mm] fuer [mm] $v\le x_1$.
[/mm]
[Das geht quasi in die Richtung zweier verschiedener Teilmonotonien.]
Nun muesste man sich nur noch Gedanken machen, dass das Monotonieverhalten bei [mm] $x_0=x_1$ [/mm] "kippt" und schon hast du quasi die Definition eines lokalen Maximums da stehen.
Hilft das? :)
Gruss,
Chris
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Hallo,
danke für die Antwort, bin aber jetzt irgendwie noch verwirrter.
Also: Wir haben eine stetige Funktion, die keine lokalen Extrema hat. Wir sollen beweisen, dass dann die Funktion automatisch monoton auf [a,b] ist.
Jetzt haben wir die Definiton von monoton steigend:
Diese ist: [mm] x,x_0 \in [/mm] [a,b], x [mm] \le x_0 [/mm] : f(x) [mm] \le f(x_0)
[/mm]
Wir führen einen Widerspruchsbeweis, sagen also, nein, die Funktion f ist zum Beispiel nicht monoton steigend.
Dann muss ich doch diese Definition der Monotonie negieren, oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Mi 13.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> danke für die Antwort, bin aber jetzt irgendwie noch
> verwirrter.
>
> Also: Wir haben eine stetige Funktion, die keine lokalen
> Extrema hat. Wir sollen beweisen, dass dann die Funktion
> automatisch monoton auf [a,b] ist.
>
> Jetzt haben wir die Definiton von monoton steigend:
> Diese ist: [mm]x,x_0 \in[/mm] [a,b], x [mm]\le x_0[/mm] : f(x) [mm]\le f(x_0)[/mm]
>
> Wir führen einen Widerspruchsbeweis, sagen also, nein, die
> Funktion f ist zum Beispiel nicht monoton steigend.
>
> Dann muss ich doch diese Definition der Monotonie negieren,
> oder ?
Zu zeigen ist: f ist monoton. Das bedeutet, f ist monoton wachsend oder monoton fallend.
Die Negation hiervon ist:
f ist weder monoton wachsend noch monoton fallend.
Fred
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Nun, dann wären wir wieder am Anfang: Was kann ich dann mit der Definition der Monotonie anfangen? (Wie soll ich dann einen Widerspruchsbeweis führen?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:04 Do 14.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Nun, dann wären wir wieder am Anfang: Was kann ich dann
> mit der Definition der Monotonie anfangen? (Wie soll ich
> dann einen Widerspruchsbeweis führen?)
Wir nehmen an, f sei weder mon. wachsend noch mon. fallend.
[a,b] ist kompakt und f ist stetig, also ex. [mm] x_1,x_2 \in [/mm] [a,b] mit
(*) [mm] f(x_1) \le [/mm] f(x) [mm] \le f(x_2) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a,b].
Da f auf dem offenen intervall (a,b) kein lokales Extremum besitzt, muss gelten
[mm] x_1,x_2 \in \{a,b\}.
[/mm]
Ohne Einschränkung können wir [mm] x_1=a [/mm] und [mm] x_2 [/mm] =b annehmen. Aus (*) folgt auch noch
f(a)<f(b)
(anderenfalls wäre f auf [a,b] konstant, also monoton).
So, nun mach Dir mal eine Skizze der Situation. Zeichne den Graphen der Funktion f. Dann solltest Du sehen, dass f mindesten ein lokales Minimum in (a,b) haben muss.
Diese anschauliche Erkenntnis solltest Du nun exakt beweisen.
FRED
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