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Forum "Funktionen" - Monotonie beweisen
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Monotonie beweisen: Keine lokalen Extrema
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Mi 13.01.2016
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Eine Funktion f: I [mm] \subset \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] hat in einem Punkt [mm] x_0 \in [/mm] I ein lokales Minimum bzw. Maximum, wenn es ein [mm] \delta [/mm] > 0 gibt mit f(x) [mm] \ge f(x_0) [/mm] bzw. f(x) [mm] \le f(x_0) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] I mit [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm]

Sei f: [a,b] -> [mm] \IR [/mm] eine stetige Funktion, die in keinem Punkt x [mm] \in [/mm] (a,b) ein lokales Minimum bzw. Maximum besitzt. Zeigen Sie, dass f auf [a,b] monoton ist.

Hallo,
ich weiß leider nicht, wie ich das beweisen soll.
Dort steht f ist stetig. Also gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow x_0} [/mm] f(x) = [mm] f(x_0) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a,b]

Jetzt habe ich mir gedacht, ich mache ein Fallunterscheidung um die Monotonie zu beweisen.

1. Fall f'(x) > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b] (monoton steigend)

2. Fall f'(x) < 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b] (monoton fallend)

Wie kann ich hier am besten anfangen?

Vielen Dank im Voraus.


        
Bezug
Monotonie beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Mi 13.01.2016
Autor: fred97


> Eine Funktion f: I [mm]\subset \IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] hat in einem Punkt
> [mm]x_0 \in[/mm] I ein lokales Minimum bzw. Maximum, wenn es ein
> [mm]\delta[/mm] > 0 gibt mit f(x) [mm]\ge f(x_0)[/mm] bzw. f(x) [mm]\le f(x_0)[/mm]
> für alle x [mm]\in[/mm] I mit [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm]
>  
> Sei f: [a,b] -> [mm]\IR[/mm] eine stetige Funktion, die in keinem
> Punkt x [mm]\in[/mm] (a,b) ein lokales Minimum bzw. Maximum besitzt.
> Zeigen Sie, dass f auf [a,b] monoton ist.
>  Hallo,
>  ich weiß leider nicht, wie ich das beweisen soll.
> Dort steht f ist stetig. Also gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}[/mm]
> f(x) = [mm]f(x_0)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] [a,b]
>  
> Jetzt habe ich mir gedacht, ich mache ein
> Fallunterscheidung um die Monotonie zu beweisen.
>  
> 1. Fall f'(x) > 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [a,b] (monoton steigend)
>  
> 2. Fall f'(x) < 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [a,b] (monoton fallend)


Nee, mit der Ableitung kannst Du nicht kommen, denn f ist nicht als differenzierbar vorausgesetzt.


>  
> Wie kann ich hier am besten anfangen?

Widerspruchsbeweis.

FRED

>  
> Vielen Dank im Voraus.
>  


Bezug
                
Bezug
Monotonie beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Mi 13.01.2016
Autor: pc_doctor

Hallo,
also ich gehe davon aus, dass f nicht monoton ist. Dann muss ich ja die Definition für die Monotonie irgendwie benutzen(und zum Widerspruch führen), ich komme also an der Ableitung nicht vorbei. Wie kann ich das anstellen?

Bezug
                        
Bezug
Monotonie beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:31 Mi 13.01.2016
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Hallo,
> also ich gehe davon aus, dass f nicht monoton ist. Dann
> muss ich ja die Definition für die Monotonie irgendwie
> benutzen(und zum Widerspruch führen),

Ja

> ich komme also an
> der Ableitung nicht vorbei.

Wieso das denn?

Monotonie ist doch nicht über die Ableitung definiert ...


Wie lautet die Definition?


> Wie kann ich das anstellen?

Gruß
schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Monotonie beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Mi 13.01.2016
Autor: pc_doctor

Hi,
stimmt, geht auch ohne Ableitung:

Zum Beispiel monoton steigend: [mm] x,x_0 \in [/mm] [a,b] mit x [mm] \le x_0 [/mm] : f(x) [mm] \le f(x_0) [/mm]


Sehe trotzdem irgendwie nicht den roten Faden, stehe auf dem Schlauch.

Bezug
                                        
Bezug
Monotonie beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:38 Mi 13.01.2016
Autor: Chris84


> Hi,
>  stimmt, geht auch ohne Ableitung:
>  
> Zum Beispiel monoton steigend: [mm]x,x_0 \in[/mm] [a,b] mit x [mm]\le x_0[/mm]
> : f(x) [mm]\le f(x_0)[/mm]
>  
>
> Sehe trotzdem irgendwie nicht den roten Faden, stehe auf
> dem Schlauch.  

Huhu,
du bist doch schon fast da. Ich skizziere hier 'mal kurz (bitte ueber Details selbst Gedanken machen) fuer beispielsweise (nicht) monoton steigend:

Wenn $f$ also nicht in $[a,b]$ steigend ist, heisst das doch, dass es ein Paar [mm] $x_0,u \in [/mm] [a,b]$ gibt mit

[mm] $f(u)\le f(x_0)$ [/mm] fuer [mm] $u\ge x_0$. [/mm]

Da wir Monotonie ausschliessen, kann $f$ auch nicht monoton fallend sein, also muss es auch ein Paar [mm] $v,x_1\in [/mm] [a,b]$ geben, so dass

[mm] $f(v)\le f(x_1)$ [/mm] fuer [mm] $v\le x_1$. [/mm]

[Das geht quasi in die Richtung zweier verschiedener Teilmonotonien.]

Nun muesste man sich nur noch Gedanken machen, dass das Monotonieverhalten bei [mm] $x_0=x_1$ [/mm] "kippt" und schon hast du quasi die Definition eines lokalen Maximums da stehen.

Hilft das? :)

Gruss,
Chris


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Bezug
Monotonie beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Mi 13.01.2016
Autor: pc_doctor

Hallo,
danke für die Antwort, bin aber jetzt irgendwie noch verwirrter.

Also: Wir haben eine stetige Funktion, die keine lokalen Extrema hat. Wir sollen beweisen, dass dann die Funktion automatisch monoton auf [a,b] ist.

Jetzt haben wir die Definiton von monoton steigend:
Diese ist: [mm] x,x_0 \in [/mm] [a,b], x [mm] \le x_0 [/mm] : f(x) [mm] \le f(x_0) [/mm]

Wir führen einen Widerspruchsbeweis, sagen also, nein, die Funktion f ist zum Beispiel nicht monoton steigend.

Dann muss ich doch diese Definition der Monotonie negieren, oder ?

Bezug
                                                        
Bezug
Monotonie beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Mi 13.01.2016
Autor: fred97


> Hallo,
>  danke für die Antwort, bin aber jetzt irgendwie noch
> verwirrter.
>  
> Also: Wir haben eine stetige Funktion, die keine lokalen
> Extrema hat. Wir sollen beweisen, dass dann die Funktion
> automatisch monoton auf [a,b] ist.
>  
> Jetzt haben wir die Definiton von monoton steigend:
>  Diese ist: [mm]x,x_0 \in[/mm] [a,b], x [mm]\le x_0[/mm] : f(x) [mm]\le f(x_0)[/mm]
>  
> Wir führen einen Widerspruchsbeweis, sagen also, nein, die
> Funktion f ist zum Beispiel nicht monoton steigend.
>  
> Dann muss ich doch diese Definition der Monotonie negieren,
> oder ?  

Zu zeigen ist: f ist monoton. Das bedeutet, f ist monoton wachsend oder monoton fallend.

Die Negation hiervon ist:

    f ist weder monoton wachsend noch monoton fallend.

Fred


Bezug
                                                                
Bezug
Monotonie beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Mi 13.01.2016
Autor: pc_doctor

Nun, dann wären wir wieder am Anfang: Was kann ich dann mit der Definition der Monotonie anfangen? (Wie soll ich dann einen Widerspruchsbeweis führen?)

Bezug
                                                                        
Bezug
Monotonie beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:04 Do 14.01.2016
Autor: fred97


> Nun, dann wären wir wieder am Anfang: Was kann ich dann
> mit der Definition der Monotonie anfangen? (Wie soll ich
> dann einen Widerspruchsbeweis führen?)

Wir nehmen an, f sei weder mon. wachsend noch mon. fallend.

[a,b] ist kompakt und f ist stetig, also ex. [mm] x_1,x_2 \in [/mm] [a,b] mit

(*)   [mm] f(x_1) \le [/mm] f(x) [mm] \le f(x_2) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a,b].

Da f auf dem offenen intervall (a,b) kein lokales Extremum besitzt, muss gelten

   [mm] x_1,x_2 \in \{a,b\}. [/mm]

Ohne Einschränkung können wir [mm] x_1=a [/mm] und [mm] x_2 [/mm] =b annehmen. Aus (*) folgt auch noch

   f(a)<f(b)

(anderenfalls wäre f auf [a,b] konstant, also monoton).

So, nun mach Dir mal eine Skizze der Situation. Zeichne den Graphen der Funktion f. Dann solltest Du sehen, dass f mindesten ein lokales Minimum in (a,b) haben muss.

Diese anschauliche Erkenntnis solltest Du nun exakt beweisen.

FRED


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