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Forum "Folgen und Grenzwerte" - Monotonie beweisen
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Monotonie beweisen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:11 Di 19.11.2013
Autor: littlebrat

Aufgabe
Ich habe die Folge [mm]an = \bruch{3n-1}{n+1} [/mm]   gegeben und soll
die Monotonie beweisen.

Vermutung monoton steigend da a1=1, a2=[mm]\bruch{5}{3}[/mm], a3=2 und a4=[mm]\bruch{11}{5}[/mm].

[mm]\bruch{3(n-1)-1}{n+2} - \bruch{3n-1}{n+1} > 0 [/mm]

[mm]= \bruch{3n+2}{n+2} - \bruch{3n-1}{n+1} > 0 [/mm]

[mm]= \bruch{(3n+2)(n-1)-(3n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)} > 0 [/mm]

[mm]= \bruch{3n^2+3n+2n+2-3n^2+6n-n-2}{2n^2+2n+2} > 0 [/mm]

[mm]= \bruch{10n}{2n^2+2n+2} > 0 [/mm]


Stimmt das soweit? Was soll mir das Ergebnis über die Monotonie sagen?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Monotonie beweisen: Korrektur + Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:20 Di 19.11.2013
Autor: Loddar

Hallo littlebrat!


> [mm]\bruch{3(n-1)-1}{n+2} - \bruch{3n-1}{n+1} > 0[/mm]

[notok] Wenn Du zeigen willst [mm] $a_{n+1}-a_n [/mm] \ > \ 0$ , muss es heißen:

[mm] $\bruch{3*(n \ \red{+} \ 1)-1}{n+1+1}-\bruch{3*n-1}{n+1} [/mm] \ > \ 0$



> [mm]= \bruch{10n}{2n^2+2n+2} > 0[/mm]
>
> Stimmt das soweit? Was soll mir das Ergebnis über die
> Monotonie sagen?

Durch den obigen Fehler gleich zu Beginn sieht dieser Term nun etwas anders aus.
Aber z.B. zu diesem Term kann man sagen: es werden ausschließlich positive $n_$ eingesetzt, welche sowohl einen positiven Zähler als auch einen positiven Nenner erzeugen.
Daraus folgt unmittelbar, dass auch der Gesamtbruch stets positiv ist.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Monotonie beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:36 Di 19.11.2013
Autor: littlebrat

das tut mir leid...ich hatte da wohl einfach einen tippfehler....ich habe auch die rechnung mit

$ [mm] \bruch{3(n+1)-1}{n+2} [/mm] - [mm] \bruch{3n-1}{n+1} [/mm] > 0 $

gemacht und bin dennoch auf

$ = [mm] \bruch{10n}{2n^2+2n+2} [/mm] > 0 $

gekommen.



Bezug
                        
Bezug
Monotonie beweisen: siehe oben!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:40 Di 19.11.2013
Autor: Loddar

Hallo!


> das tut mir leid...ich hatte da wohl einfach einen
> tippfehler....ich habe auch die rechnung mit

>

> [mm]\bruch{3(n+1)-1}{n+2} - \bruch{3n-1}{n+1} > 0[/mm]

[ok]



> gemacht und bin dennoch auf

>

> [mm]= \bruch{10n}{2n^2+2n+2} > 0[/mm]

>

> gekommen.

Dann ist doch alles geklärt ... siehe meine letzte Antwort.


Gruß
Loddar

Bezug
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