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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Monotonie einer Folge
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Monotonie einer Folge: Denkanstoß
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 So 11.11.2007
Autor: Goldschatz

Aufgabe
Zeigen sie dass die  Folge  monoton wachsend ist:
[mm] \summe_{k=n+1}^{2n} [/mm] 1/k

Hilfeee ich brauch wieder einen Denkanstoß bastel jetz schon viel zu lange an der Aufgabe und komm auf nix richtiges.

Seh ich das richtig dass ich zeigen muss dass [mm] a_n [/mm] < [mm] a_n+1 [/mm]

und [mm] a_n+1= [/mm] 1/2 [mm] (a_n+ x/a_n) [/mm]

Was ist mein x?

Oder hab ich meine ganzen Vorlagen vollkommen falsch gedeuted?

        
Bezug
Monotonie einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:36 So 11.11.2007
Autor: max3000

Hallo.

Was diese Gleichung mit deinem x ist versteh ich überhaupt nicht.
Aber die erste Gleichung ist in Ordnung so.

Du musst zeigen, dass
[mm] a_{n+1}\ge a_{n} [/mm]
ist.

Also

[mm] \summe_{k=n+2}^{2n+2}\bruch{1}{k}\ge\summe_{k=n+1}^{2n}\bruch{1}{k} [/mm]

Jetzt spalten wir diese Summe mal auf, da anscheinend sehr viele Summanden auf beiden Seiten vorkommen:

[mm] \summe_{k=n+2}^{2n}\bruch{1}{k}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}\ge\bruch{1}{n+1}+\summe_{k=n+2}^{2n}\bruch{1}{k} [/mm]

Die Summen sind jetzt auf beiden Seiten gleich, also weg damit:

[mm] \bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}\ge\bruch{1}{n+1} [/mm]

Das ganze musst du jetzt nur noch zeigen, was eigentlich machbar ist.
Alles auf einen Nenner bringen und dann vereinfachen und schauen, ob die Ungleichheit erfüllt ist.

Gruß
Max

Bezug
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