Monotonie einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Vor. [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1 ist eine Folge.
Beh. Die Folge ist monoton fallend. |
Bew. zu zeigen: a_(n+1) [mm] \le a_n.
[/mm]
Ich setze die Folge ein und komme schließlich zum Ergebnis:
...= [mm] (\bruch{n-1}{n})\*(1+\bruch{1}{(n^{2}-1)}) [/mm] =#
Mit Bernoulli folgt:
# ist [mm] \ge (\bruch{n-1}{n})\*(1+(n+1)*\bruch{1}{(n^{2}-1)}) [/mm] =
[mm] (\bruch{n-1}{n}) (1+\bruch{1}{n-1}) [/mm] = [mm] (\bruch{n-1}{n}+\bruch{1}{n})= \bruch{n}{n}= [/mm] 1.
Die Folge ist also monoton fallend. -> Beh.
1) Bei zu zeigen kann ich leider (n+1) nicht tiefgestellt bekommen.
2) Darf ich meinen Beweis so führen? Gibt es Fehler im Beweis?
DANKE
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> Vor. [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 1 ist eine Folge.
> Beh. Die Folge ist monoton fallend.
> Bew. zu zeigen: a_(n+1) [mm]\le a_n.[/mm]
>
> Ich setze die Folge ein und komme schließlich zum
> Ergebnis:
> ...= [mm](\bruch{n-1}{n})\*(1+\bruch{1}{(n^{2}-1)})[/mm]
Hallo,
es wäre durchaus sinnvoll, würdest Du da, wo jetzt ... steht, zeigen, was Du getan hast.
Ich komme so nicht gut mit, jedenfalls nicht ohne Stift.
> ...= [mm](\bruch{n-1}{n})\*(1+\bruch{1}{(n^{2}-1)})[/mm] =#
> Mit Bernoulli folgt:
Ich sehe jetzt gar nicht, wo Du die Bernoulliungleichung anwenden kannst, weil ich keine Potenzen sehe.
Gruß v. Angela
P.S.: Exponenten und Indizes in geschweifte Klammern setzen, dan nerscheinen sie wie gewünscht.
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> > Vor. [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 1 ist eine Folge.
> > Beh. Die Folge ist monoton fallend.
> > Bew. zu zeigen: a_(n+1) [mm]\le a_n.[/mm]
> >
> > Ich setze die Folge ein und komme schließlich zum
> > Ergebnis:
>
> > ...= [mm](\bruch{n-1}{n})\*(1+\bruch{1}{(n^{2}-1)})[/mm]
>
> Hallo,
>
> es wäre durchaus sinnvoll, würdest Du da, wo jetzt ...
> steht, zeigen, was Du getan hast.
Also,.... will ich nun aufschreiben:
[mm] #(\bruch{n}{n-1})*(\bruch{n-1}{n})*(\bruch{n}{n-1})^{n}*(\bruch{n}{n+1}^{n+1}) [/mm] = [mm] (\bruch{n-1}{n})*(1+\bruch{1}{n^{2}-1})^{n+1}
[/mm]
>
> Ich komme so nicht gut mit, jedenfalls nicht ohne Stift.
>
>
> > ...= [mm](\bruch{n-1}{n})\*(1+\bruch{1}{(n^{2}-1)})^{n+1}[/mm] =#
Habe hier leider die Potenz vergessen!!! SORRY! Jetzt kann ich Bernoulli anwenden.
> > Mit Bernoulli folgt:
>
> Ich sehe jetzt gar nicht, wo Du die Bernoulliungleichung
> anwenden kannst, weil ich keine Potenzen sehe.
>
> Gruß v. Angela
>
> P.S.: Exponenten und Indizes in geschweifte Klammern
> setzen, dan nerscheinen sie wie gewünscht.
DANKE! Habe es vorher leider nicht hinbekommen...
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Hallo pippilangstrumpf,
jetzt ist zwar dieser Schritt verständlich, aber da Du am Anfang nur lapidar geschrieben hast "ich setze die Folge ein", ist mir immer noch nicht klar, was Du jetzt eigentlich gezeigt hast.
Was stellt denn der Term dar, den Du mit Bernoullis Hilfe abschätzt? Wenn es [mm] a_n-a_{n+1} [/mm] ist, dann ist ja alles gut, sonst aber nicht.
Und um das zu ermitteln, müsste ich es selbst nachrechnen. Darauf habe ich, wenigstens im Moment, keine Lust. Eine vollständige Rechnung gehe ich aber gern durch.
Nun brauchst Du jetzt nicht unbedingt gleich alles aufzuschreiben, aber was der abzuschätzende Term nun eigentlich repräsentiert, wäre schon von Interesse.
lg
reverend
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Also, ich will ja zeigen, dass [mm] \bruch{a_{n-1}}{a_n}\ge [/mm] 1 ist um Monotonie (hier fallend zu zeigen). Dann setze ich die beiden folgen ein und prüfe o.g. Sachverhalt.
MEinst du das? DANKE vorab
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> Also, ich will ja zeigen, dass [mm]\bruch{a_{n-1}}{a_n}\ge[/mm] 1
> ist um Monotonie (hier fallend zu zeigen). Dann setze ich
> die beiden folgen ein und prüfe o.g. Sachverhalt.
>
> MEinst du das? DANKE vorab
Aha,
ja, das muß man schon wissen, wenn man über falsch oder richtig befinden soll.
Es ist [mm] \bruch{a_{n-1}}{a_n}= (\bruch{n}{n-1})^{n-1}*(\bruch{n}{n+1})^{\red{n}} [/mm] ,
also etwas anders als bei Dir.
Aber vom Prinzip her funktioniert's schon, wie von Dir geplant.
Gruß v. Angela
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