Monotonie einer Verfallsrate < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm]A_1, A_2, \ldots [/mm] und [mm]B_1, B_2, \ldots [/mm] Folgen von Zufallsvariablen, wobei alle [mm] A_i [/mm] und [mm] B_j [/mm] paarweise unabhängig und identisch verteilt sind. Sei
[mm] S_{n,m}= S(A_{n+1} \ldots A_m, B_{n+1} \ldots B_m) [/mm]
eine Funktion, für die zu [mm] n < u < m [/mm] gilt:
[mm] S_{n,m} \geq S_{n,u} + S_{u,m} [/mm]
Zeige:
[mm] P_n := \frac{\log (\mathbb{P}( S_{0,n} \geq nq))}{n} [/mm]
ist monoton steigend in [mm]n[/mm] . ([mm] q>0 [/mm] ist klein genug gewählt, s.d. [mm] \mathbb{P}( S_{0,n} \geq nq) >0[/mm] ist.)
Hinweis (schon bewiesen): Nutze
[mm] \log (\mathbb{P}( S_{0,n+m} \geq (n+m)q) \geq \log (\mathbb{P}( S_{0,n} \geq nq) +\log (\mathbb{P}( S_{0,m} \geq mq).[/mm]
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Ich habe diese Aussage einem Paper zu Alignment-Scores entnommen (leider gibt es keine frei zugänglichen Links zum PDF). Dort wird lapidar gesagt, dass der Hinweis ausreicht, um die Aussage zu beweisen.
Der Hinweis ließ sich leicht beweisen und liefert einige nützliche Informationen zur Folge [mm] P_n[/mm], ich habe es aber nicht geschafft, obige Aussage zu zeigen.
In meinen Ansätzen stellt sich die Abschätzung aus dem Hinweis immer als zu grob heraus;
ich kann lediglich zeigen, dass für alle [mm] n [/mm]
[mm] P_n \geq P_1[/mm], also [mm] P_2\geq P_1[/mm]
gilt. Nach meinen Rechnereien halte ich es aber für gut möglich, dass die Aussage stimmt.
[mm] \log (\mathbb{P}( S_{0,n} \geq nq))[/mm] ist erstmal nicht zwangsläufig größer als [mm] \log (\mathbb{P}( S_{0,n-1} \geq (n-1)q))[/mm] , aber durch die Skalierung mit [mm] n [/mm] bzw [mm] n-1 [/mm] könnte dann doch [mm] P_n \geq P_{n-1} [/mm] gelten.
Habt ihr Ideen, wie ein Beweis der Aussage laufen könnte?
Sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht, oder ist die Lösung tatsächlich komplizierter als von den Autoren gedacht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 23.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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