Monotonie und Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Di 14.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
Ich hab die Folge [mm] a_n=\br{n^2}{2n-1}, [/mm] und davon will ich die Schranken finden, also ihre Beschränktheit finden.
Als erstes zeige ich, dass sie streng monoton wachsend ist:
[mm] a_{n+1}-a_n=\br{\left(n+1\right)^2}{2n+1}-\br{n^2}{2n-1}=\br{2n^2-1}{4n^2-1}>\br{1}{3}>0
[/mm]
In der Vorlesung wurde gesagt, dass ich jetzt aufgrund dieses Beweises schon sagen kann, dass 0 die untere Schranke ist.
Aber ich kann auch [mm] \br{a_{n+1}}{a_n}>1 [/mm] als Beweis für ihre Monotonie hernehmen, dann habe ich 1 als die untere Schranke.
Was ist denn jetzt die untere Schranke?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Di 14.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab die Folge [mm]a_n=\br{n^2}{2n-1},[/mm] und davon will ich
> die Schranken finden, also ihre Beschränktheit finden.
>
> Als erstes zeige ich, dass sie streng monoton wachsend
> ist:
>
> [mm]a_{n+1}-a_n=\br{\left(n+1\right)^2}{2n+1}-\br{n^2}{2n-1}=\br{2n^2-1}{4n^2-1}>\br{1}{3}>0[/mm]
>
> In der Vorlesung wurde gesagt, dass ich jetzt aufgrund
> dieses Beweises schon sagen kann, dass 0 die untere
> Schranke ist.
?????
Es gibt nicht "die" untere Schranke ! gilt z.B. für eine Folge [mm] (c_n), [/mm] dass
[mm] c_n \ge [/mm] 4711 für alle n
ist, so ist 4711 eine untere Schranke. Ebenso sind 2 und -123 untere Schranken von [mm] (c_n).
[/mm]
Aus [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] >0 folgt i.a. nicht, dass 0 eine untere Schranke ist.
Nimm z.B. [mm] $a_n [/mm] =- [mm] \bruch{1}{n}$
[/mm]
Bei Deiner obigen Folge [mm] a_n=\br{n^2}{2n-1} [/mm] sieht man doch durch genaues draufsehen, dass [mm] a_n [/mm] > 0 für alle n ist.
Aus [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] > 0 für alle n folgt:
[mm] a_n \ge a_1 [/mm] für alle n.
Damit ist [mm] a_1 [/mm] die größte untere Schranke von [mm] (a_n)
[/mm]
>
> Aber ich kann auch [mm]\br{a_{n+1}}{a_n}>1[/mm] als Beweis für ihre
> Monotonie hernehmen,
> dann habe ich 1 als die untere
> Schranke.
Hä ? Wieso das denn ??? 1 ist keine untere Schranke von [mm] (\br{n^2}{2n-1}) [/mm] !!!!
Edit: natürlich ist 1 eine untere Schranke
>
> Was ist denn jetzt die untere Schranke?
"Die" untere Schranke gibt es nicht.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Di 14.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
"Die Folge ist streng monoton wachsend, denn für alle [mm] n\inN [/mm] gilt [mm] 2n^2>1 [/mm] und daher
[mm] n^2(2n+1)=2n^3+n^2<2n^3+3n^2-1=(n^2+2n+1)(2n-1),
[/mm]
also ist stets (beachte $2n+1>0$ und [mm] n^2>0)
[/mm]
[mm] \br{a_{n+1}}{a_n}=\br{(n+1)^2}{2n+1}\br{2n-1}{n^2}>1,
[/mm]
also ist stets [mm] a_n+1>a_n [/mm] (beachte [mm] a_n>0 [/mm] für alle [mm] n\inN). [/mm] Die Folge ist nicht nach oben beschränkt, denn für alle [mm] n\inN [/mm] gilt
[mm] a_n\ge\br{n^2}{2n}=\br{n}{2}.
[/mm]
(Wegen Monotonie ist natürlich [mm] a_1=1 [/mm] eine untere Schranke der Folge.)"
Ist das nun ein Fehler, oder was ist damit gemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Di 14.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> "Die Folge ist streng monoton wachsend, denn für alle
> [mm]n\inN[/mm] gilt [mm]2n^2>1[/mm] und daher
>
> [mm]n^2(2n+1)=2n^3+n^2<2n^3+3n^2-1=(n^2+2n+1)(2n-1),[/mm]
>
> also ist stets (beachte [mm]2n+1>0[/mm] und [mm]n^2>0)[/mm]
>
> [mm]\br{a_{n+1}}{a_n}=\br{(n+1)^2}{2n+1}\br{2n-1}{n^2}>1,[/mm]
>
> also ist stets [mm]a_n+1>a_n[/mm] (beachte [mm]a_n>0[/mm] für alle [mm]n\inN).[/mm]
> Die Folge ist nicht nach oben beschränkt, denn für alle
> [mm]n\inN[/mm] gilt
>
> [mm]a_n\ge\br{n^2}{2n}=\br{n}{2}.[/mm]
>
> (Wegen Monotonie ist natürlich [mm]a_1=1[/mm] eine untere Schranke
> der Folge.)"
>
> Ist das nun ein Fehler, oder was ist damit gemeint?
Es wurde gezeigt, dass [mm] (a_n) [/mm] streng monoton wachsend ist und nicht nach oben beschränkt ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Di 14.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
Warum behauptet er einfach, dass es nach oben nicht berschänkt ist und nach unten mit 1 als Schranke?
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Hiho,
> Warum behauptet er einfach, dass es nach oben nicht berschänkt ist und nach unten mit 1 als Schranke?
weil beides gezeigt wurde!
Guckst du dir die Beweise überhaupt an oder nur die Schlußsätze?
Es wurde gezeigt:
[mm] $a_n$ [/mm] ist monoton wachsend [mm] $\Rightarrow a_n \ge a_1 [/mm] = 1$
Also ist es nach unten durch 1 beschränkt.
Dann wurde gezeigt:
[mm] $a_n \ge \bruch{n}{2}$ [/mm] und [mm] \bruch{n}{2} [/mm] ist offensichtlich nicht nach oben beschränkt und damit erst recht nicht [mm] a_n
[/mm]
Man man man
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Di 14.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
Es wurde doch gerade gesagt, dass man mit Monotonie nicht die Beschränktheit beweisen kann.
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Hallo,
> Es wurde doch gerade gesagt, dass man mit Monotonie nicht
> die Beschränktheit beweisen kann.
Da die Folge monoton wachsend ist (und sämtliche Gleider positiv sind), ist das erste Glied das kleinste, also haben wir Beschränktheit nach unten.
Weiter ist die Folge UNbeschränkt nach oben.
Wo genau ist dein Problem??
Gruß
schachuzipus
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Hiho,
> (Wegen Monotonie ist natürlich [mm]a_1=1[/mm] eine untere Schranke der Folge.)"
ob 1 eine untere Schranke ist, hängt davon ab, wie bei euch die natürlichen Zahlen definiert sind.
Im Fall von [mm] $\IN [/mm] = [mm] \{0,1,2,3\ldots\}$ [/mm] ist 1 keine untere Schranke, im Fall von [mm] $\IN [/mm] = [mm] \{1,2,3\ldots\}$ [/mm] schon.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Di 14.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
Darf [mm] a_n [/mm] reell sein aber n nicht?
Oder dürfen beide nicht reell sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Di 14.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Darf [mm]a_n[/mm] reell sein aber n nicht?
>
> Oder dürfen beide nicht reell sein?
Du hast [mm] a_n=\br{n^2}{2n-1} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] ( oder n [mm] \in \IN_0)
[/mm]
Es ist also n eine natürliche Zahl, also auch eine reelle, und [mm] a_n \in \IR.
[/mm]
FRED
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