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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folge auf Monotonie und Beschränktheit
[mm] a_{n}=\bruch{4n-15}{x^{2}} [/mm] |
ähnliche Fragestellung bei: http://www.onlinemathe.de/forum/Monotonie-und-Beschraenktheit-bei-Folgen-Folgen-und-Reihen
Ich hätte gern, dass mal jemand schaut ob ich das so richtig gemacht habe, und eventuell ergänzt, falls was fehlt.
Danke im Voraus
Katharina
Ich hab zuerst geprüft (mit Probeeinsetzung) ob [mm] a_{n} \le/ \ge a_{n+1} [/mm] ist.
[mm] \bruch{4n-15}{n^{2}}\le/\ge\bruch{4(n+1)-15}{(n+1)^{2}}
[/mm]
für n=1
-11 [mm] <-\bruch{7}{4}
[/mm]
Das würde bedeuten, dass die Folge streng monoton steigend ist.
Zwischenfrage: gibt es eine Methode wie man das kurz und knapp für alle n nachweisen kann?
Für n=2 hab ich das gleiche gemacht.
Die Folge ist nach unten durch 1 beschränkt, Für n=1 ist die Folge mit -11 am kleinsten.
Ist sie auch nach oben beschränkt?
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> Ich hätte gern, dass mal jemand schaut ob ich das so
> richtig gemacht habe, und eventuell ergänzt, falls was
> fehlt.
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> Danke im Voraus
> Katharina
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> Ich hab zuerst geprüft (mit Probeeinsetzung) ob [mm]a_{n} \le/ \ge a_{n+1}[/mm]
> ist.
>
[mm]\bruch{4n-15}{n^{2}}\le/\ge\bruch{4(n+1)-15}{(n+1)^{2}}[/mm]
>
> für n=1
>
> -11 [mm]<-\bruch{7}{4}[/mm]
>
> Das würde bedeuten, dass die Folge streng monoton steigend
> ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau. Oft reicht aber so eine Überprüfung nicht unbedingt aus, um zu sagen dass die gesamte Folge nur nach "oben" oder nach "unten" geht. Bei deiner ist es zum Beispiel so:
[Dateianhang nicht öffentlich]
D.h. erst ist die monoton steigend, und ab n = 8 oder so beginnt sie zu fallen.
> Zwischenfrage: gibt es eine Methode wie man das kurz und
> knapp für alle n nachweisen kann?
> Für n=2 hab ich das gleiche gemacht.
Du musst zeigen dass
[mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n}
[/mm]
für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Das machst du zum Beispiel so: Beginne mit
[mm] \bruch{4(n+1)-15}{(n+1)^{2}} [/mm] > [mm] \bruch{4n-15}{n^{2}}
[/mm]
und führe dies zu einer wahren Aussage. Vorsicht bei Multiplikation und Division, hier handelt es sich um eine Ungleichung!
[mm] (4n-11)*n^{2} [/mm] > [mm] (4n-15)*(n+1)^{2}
[/mm]
Das darfst du, weil [mm] n^{2} [/mm] und [mm] (n+1)^{2}\ge [/mm] 0 für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Nun links und rechts ausmultiplizieren, alles auf eine Seite bringen und zeigen, dass die entstehende Ungleichung
... > 0
wahr ist! Das Problem ist nur, dass diese Monotonie bei dir oben nicht vorliegt. Deswegen beginnt man lieber mit
[mm] a_{n+1}-a_{n}
[/mm]
D.h. Man untersucht die Differenz aufeinanderfolgender Folgenglieder. Ist das obige positiv, ist die Folge monoton steigend, ansonsten monoton fallend. Bei dir wird es darauf hinauslaufen, dass du für n < 8 und n > 7 oder so eine Fallunterscheidung machen musst.
> Die Folge ist nach unten durch 1 beschränkt, Für n=1 ist
> die Folge mit -11 am kleinsten.
Die Folge ist nach unten durch -11 beschränkt! Hier zählt nicht, welchen Index du einsetzt, sondern der Wert!
> Ist sie auch nach oben beschränkt?
Genau beim Übergang von steigend zu fallend ist die Grenze.
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Danke erst mal.
Noch eine Frage, wie mache ich so eine Fallunterscheidung? Ich kenn das nur von Funktionen wenn für [mm] x_{1/2} [/mm] sowohl ein positives als auch ein negatives Ergebnis möglich ist.
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Hallo!
Naja, vermutlich wird das Zusammenfassen auf so einen Term hinauslaufen:
[mm] a_{n+1}-a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{\mbox{Quadratische Gleichung}}{n^{2}*(n+1)^{2}}
[/mm]
Und nun willst du ja prüfen, für welche n der Term negativ (--> monoton fallend) und für welche positiv (--> monoton steigend) ist. Dazu musst du Zähler und Nenner überprüfen. Der Nenner kann nicht negativ werden, also müssen wir nur noch gucken wann der Zähler positiv bzw. negativ ist. Dazu musst du die Quadratische Funktion entsprechend auswerten! (Nullstellen...)
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 So 30.11.2008 | | Autor: | anjali251 |
Danke vielmals
Gruß Katharina
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