Monotonie und Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Folge [mm] (a_{n}) n\in\IN [/mm] mit [mm] (a_{n})=\bruch{e^{sin2^n}}{3\times(n^p) -2}, [/mm] p>0.
(a) Untersuchen Sie die Folge [mm] (a_{n}) n\in\IN [/mm] auf Monotonie und Beschränktheit.
(b) Untersuchen Sie die Folge [mm] (a_{n}) n\in\IN [/mm] auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. |
Also, eine Folge wo nur eine Variable, nämlich [mm] n\in\IN [/mm] vorkommt auf Monotonie und Beschränktheit zu untersuchen ist nicht das Problem. Mich irritiert allerdings das p.
Ich habe es erstmal ganz herkömmlich ausprobiert ob [mm] (a_{n}) \le /\ge (a_{n+1}) [/mm] ist. Für n=1 und p=1
[mm] \bruch{e^{sin2^1}}{3\times(1^1) -2} \le /\ge \bruch{e^{sin2^2}}{3\times(2^1) -2}
[/mm]
dafür habe ich erhalten das [mm] (a_{n+1}) [/mm] n.l. wäre, ich vermute, dass p>1 sein müsste.
Und aufgrund des p's komm ich irgendwie nicht klar. Es wäre super wenn mir jemand helfen könnte auch bei Aufgabe b, da ich mit Konvergenz und Grenzwert so meine Schwierigkeiten habe.
Danke im Voraus
Katharina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 So 07.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
untersuch doch erst mal Zähler und Nenner einzeln.
steht da [mm] sin(2^n) [/mm] oder [mm] (sin(2))^n [/mm] in beiden fällen ist das einfach abzuschätzrn. oder muss man die Klammern noch anders setzen ? etwa [mm] (e^{sin(2)}^)^n? [/mm]
da p>0 ist auch ne leichte Aussage für den Nenner zu machen.
Dann fang mit Beschränktheit an. Dann Monotonie dann Konvergenz und der GW ist danach bei festem p doch hoffentlich klar.
Aber da ich den Zähler nicht wirklich kenne ist auch noch nicht klar, was passiert.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:58 So 07.12.2008 | | Autor: | anjali251 |
| Aufgabe | | [mm] e^{sin^(2^n)} [/mm] |
Das ist es was der Prof gesagt hat. Auf dem Blatt steht nämlich was anderes und da sollten wir [mm] e^sin^2 [/mm] n, das 2 n austauschen mit [mm] 2^n. [/mm] Allerdings gibt es nicht einen Funktionszeichner online der das für richtig hält.
Na ja ich werde es morgen vormittag mal versuchen, und melde mich wenns gar nicht geht.
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| Aufgabe | | [mm] a_{n}=\bruch{e^{sin2^{n}}}{3 \times n^{p}-2} [/mm] |
Monotonie
für den Zähler: [mm] e^{sin2^{n}}
[/mm]
[mm] e^{sin2^{n}} \le [/mm] / [mm] \ge e^{sin2^{n+1}} [/mm] ??
für n=1, n=2 und n=3
n=1 : 1,0355 < 1,0723
n=2 : 1,0723 < 1,1493
n=3 : 1,1493 < 1,3173
das bedeutet, für den Zähler, die Folge wäre monoton steigend.
Für den Nenner: (p gewählt 1)
3 [mm] \times n^{p}-2
[/mm]
n=1 : 1 < 4
n=2 : 4 < 7
n=3 : 7 < 10
das bedeutet, für den Nenner, die Folge wäre monoton steigend.
Auf die gesamte Folge bezogen:
[mm] a_{n}=\bruch{e^{sin2^{n}}}{3 \times n^{p}-2} [/mm] ( für p>0, p=1)
Vermutung: [mm] a_{n} [/mm] < [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{e^{sin2^{n}}}{3 \times n^{1}-2} [/mm] < [mm] \bruch{e^{sin2^{n+1}}}{3 \times (n+1)^{1}-2} [/mm] | [mm] \times [/mm] (3 [mm] \times n^{1}-2) [/mm] und [mm] \times [/mm] (3 [mm] \times (n+1)^{1}-2)
[/mm]
Erlaubt, da der Nenner bei p=1 für alle [mm] n\in\IN [/mm] > 0
[mm] e^{sin2^{n}} \times [/mm] (3 [mm] \times (n+1)^{1}-2) [/mm] < [mm] e^{sin2^{n+1}} \times [/mm] (3 [mm] \times n^{1}-2)
[/mm]
Ich muss jetzt versuchen alles auf eine Seite zu bringen, aber damit komme ich grad nicht so ganz klar. Das sieht bei mir so aus:
[mm] e^{sin2^{n}} \times [/mm] (3 [mm] \times (n+1)^{1}-2) [/mm] - [mm] (e^{sin2^{n+1}} \times [/mm] (3 [mm] \times n^{1}-2)) [/mm] < 0
und nun? Da weiß ich jetzt nicht weiter. Ich wäre für jede Hilfe dankbar.
Für die Beschränktheit:
für n=1, bei p=1
ca: 1,000015..., das hieße, die Folge wäre nach unten beschränkt bei ca: 1,000015.... .
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 So 07.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Katharina!
Beim Zähler solltest Du nochmal hinsehen. Denn dieser weist keine Monotonie auf (worauf allein der [mm] $\sin(...)$ [/mm] hindeutet).
Gruß
Loddar
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Ja, ist mir auch grad klar geworden, hab nämlich alles umgestellt und dann ist
Vermutung:
[mm] e^{sin2^{n}} \times (3\times (n+1)^{1}-2) [/mm] - [mm] (e^{sin2^{n+1}} \times [/mm] (3 [mm] \times n^{1}-2)) \le [/mm] 0
Stimmt aber nicht, da der erste Teil [mm] [e^{sin2^{n}} \times (3\times (n+1)^{1}-2)] [/mm] stärker wächst als der zweite [mm] [(e^{sin2^{n+1}} \times (3\times n^{1}-2] [/mm] und somit die gesamte rechte Seite > 0 ist.
Ich weiß nur gerade nicht ob das jetzt tatsächlich bedeutet, dass die Folge monoton fällt, weil mich das ein wenig verwirrt.
Das würde bedeuten, dass für n=1 und p=1 eine Beschränktheit nach oben vorhanden wäre und nicht nach unten. Ist das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 So 07.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich nehm jetzt mal an dass im Zähler [mm] e^{sin(2^n)} [/mm] steht. eindeutig beantwortet hast du das nicht.
damit kann der Zähler Z doch nur beschränkt sein und zwar gilt:
1/e<Z<e
Der Nenner wächst mit n monoton. damit gibt es ein N ab dem das ganze auch monoton fällt, wie gross man N wählen muss hängt dabei von p ab.
1. Kann denn der Bruch irgedwann <0 werden?
2. kann der Bruch irgendwann >e werden?
Gruss leduart
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