Monotonie und Beschraenktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen [mm] (a_{n}) [/mm] n N auf Monotonie und Beschraenktheit.
c) [mm] a_{n} [/mm] := (- [mm] \bruch{1}{2})^n [/mm] - (- [mm] \bruch{1}{3})^n [/mm] |
Hi,
also folgendes habe ich getan. Um mir zuerst einen Ueberblick ueber die Folge zu verschaffen, setze ich anfangs immer zuerst 4 Folgeglieder ein (a1, a2, a3, a4). Folgende Ergebnisse:
a1 = - [mm] \bruch{1}{6}, [/mm] a2 = [mm] \bruch{5}{36}, [/mm] a3 = - [mm] \bruch{19}{216}, [/mm] a4 = [mm] \bruch{65}{1296}
[/mm]
Somit existiert fuer diese Folge keine Monotonie. Die Folge springt zwischen positiven und negativen Werten hin und her. Erste Frage: Wie heisst solch eine Folge? Da gab es einen Begriff fuer, den ich leider vergeßen habe.
Aus diesem Grunde komme ich natuerlich auch mit der ueblichen Bedingung: [mm] a_{n} [/mm] >= [mm] a_{n+1} [/mm] bzw. anders rum aus.
Ich habe im moment keinen Schimmer wie ich auf die Beschaenktheit dieser Folge komme. In meiner Musterloesung steht nur folgendes:
[mm] |a_{n}| [/mm] =< [mm] (\bruch{1}{2})^n [/mm] + [mm] (\bruch{1}{3})^n [/mm] =< 1
Das ist doch irgendwie sehr allgemein gehalten oder?
Haette jemand vll einen Loesungsansatz fuer mich, mit dem ich es mal versuchen kann, bzw. allgemeine Tipps fuer solche Folgen, mit denen man die Beschraenktheit am einfachsten und schnellsten errechnen kann?
Vielen Dank im vorraus!
MFG Tim
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> Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen [mm](a_{n})\ n \in \IN[/mm] auf
> Monotonie und Beschraenktheit.
>
> c) [mm]a_{n}[/mm] := (- [mm]\bruch{1}{2})^n[/mm] - (- [mm]\bruch{1}{3})^n[/mm]
> Hi,
>
> also folgendes habe ich getan. Um mir zuerst einen
> Ueberblick ueber die Folge zu verschaffen, setze ich
> anfangs immer zuerst 4 Folgeglieder ein (a1, a2, a3, a4).
> Folgende Ergebnisse:
>
> a1 = - [mm]\bruch{1}{6},[/mm] a2 = [mm]\bruch{5}{36}, a3 = -\bruch{19}{216},[/mm] a4 = [mm]\bruch{65}{1296}[/mm]
> Somit existiert fuer diese Folge keine Monotonie. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Folge
> springt zwischen positiven und negativen Werten hin und
> her. Erste Frage: Wie heisst solch eine Folge? Da gab es
> einen Begriff fuer, den ich leider vergeßen habe.
"alternierende Folge"
> Ich habe im moment keinen Schimmer wie ich auf die
> Beschaenktheit dieser Folge komme. In meiner Musterloesung
> steht nur folgendes:
>
> [mm]|a_{n}|[/mm] =< [mm](\bruch{1}{2})^n[/mm] + [mm](\bruch{1}{3})^n[/mm] =< 1
das genügt absolut; mehr braucht man nicht, denn dies
kann man auch so schreiben:
-1 [mm] \le a_n \le [/mm] 1 für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
-1 ist untere Schranke, +1 obere Schranke
> Das ist doch irgendwie sehr allgemein gehalten oder?
Ein Satz, den man (wie im obigen Bsp.) oft anwenden kann:
Eine Summe, Differenz oder ein Produkt von beschränkten
Folgen ist wieder beschränkt:
Wenn [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] beschränkt und [mm] (b_n)_{n\in\IN} [/mm] beschränkte Folgen sind,
dann sind auch die Folgen
[mm] (s_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] s_n=a_n+b_n
[/mm]
[mm] (d_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] d_n=a_n-b_n
[/mm]
[mm] (p_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] p_n=a_n*b_n
[/mm]
beschränkt.
LG und gute Nacht
al-Chw.
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