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Monotonie und Nullfolge: Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:36 So 06.02.2011
Autor: SolRakt

Hallo.

Und zwar möchte ich zeigen, dass

[mm] \wurzel{n^{2} +2} [/mm] - [mm] \wurzel{n^{2} +1} [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist (n gegen unendlich). Aber hab, ehrlich gesagt, keine Ahnung, wie ich das hier anstellen soll. Danke für Hilfe.

        
Bezug
Monotonie und Nullfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:42 So 06.02.2011
Autor: fencheltee


> Hallo.
>  
> Und zwar möchte ich zeigen, dass
>
> [mm]\wurzel{n^{2} +2}[/mm] - [mm]\wurzel{n^{2} +1}[/mm] eine monoton fallende
> Nullfolge ist (n gegen unendlich). Aber hab, ehrlich
> gesagt, keine Ahnung, wie ich das hier anstellen soll.
> Danke für Hilfe.

dass es eine nullfolge ist geht ja über limes. hierzu solltest du den obigen term als a-b interpretieren und mit [mm] \frac{a+b}{a+b} [/mm] erweitern!

und wenn das oben [mm] a_n [/mm] sein soll, dann zeige für monoton fallend, dass
[mm] a_n>a_{n+1} [/mm]


gruß tee

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Monotonie und Nullfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:49 So 06.02.2011
Autor: SolRakt

Hmm..verstehe. Geht das dann wie folgt (also erstmal Nullfolge)?

[mm] \bruch{(\wurzel{n^{2}+2}-\wurzel{n^{2}+1})(\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1})}{\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1}} [/mm]

= [mm] \bruch{n^{2}+2-(n^{2}+1)}{\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1}} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1}} [/mm]

Ich hab mal gesehn, dass wenn dieser Ausdruck kleiner [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist, dann ist das auch eine Nullfolge (warum eigentlich???) Also:

[mm] $\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1}}$ [/mm] < [mm] \bruch{1}{n} [/mm]

Stimmt das erstmal so?



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Monotonie und Nullfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:55 So 06.02.2011
Autor: fencheltee


> Hmm..verstehe. Geht das dann wie folgt (also erstmal
> Nullfolge)?
>  
> [mm]\bruch{(\wurzel{n^{2}+2}-\wurzel{n^{2}+1})(\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1})}{\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1}}[/mm]
>  
> =
> [mm]\bruch{n^{2}+2-(n^{2}+1)}{\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1}}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1}}[/mm]

hier nun den grenzwert bilden

>  
> Ich hab mal gesehn, dass wenn dieser Ausdruck kleiner
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist, dann ist das auch eine Nullfolge (warum
> eigentlich???) Also:
>  
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1}}[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm]

das dürfte mit dem sandwich lemma zusammenhängen
0 [mm] \le\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1}}\le\bruch{1}{n} [/mm]
links der "grenzwert" ist null, und rechts die folge geht auch gegen 0, also muss der grenzwert des inneren auch gegen 0 gehen. dafür muss man aber noch nachweisen, dass die hintere ungleichung gilt.
und ob das so einfacher ist, wage ich zu bezweifeln

>  
> Stimmt das erstmal so?
>  
>  

gruß tee

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Monotonie und Nullfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 So 06.02.2011
Autor: SolRakt

Hmm..ok. Aber darf ich jetzt, wenn ich nun den Grenzwert nehme bzw. den Grenzübergang mache, einfach sagen, dass das Gesamte gegen 0 geht?

Und wegen der Monotonie. Natürlich kenne ich diese Definition. Nur wie wendet man das hier an? Da steht dann doch:

[mm] a_{n} \le [/mm] _ [mm] a_{n+1} [/mm]

Also:

[mm] \wurzel{n^{2}+2} [/mm] - [mm] \wurzel{n^{2}+1} \le \wurzel{(n+1)^{2}+2} [/mm] - [mm] \wurzel{(n+1)^{2}+1} [/mm]

Etwas gerechnet:


[mm] \wurzel{n^{2}+2} [/mm] - [mm] \wurzel{n^{2}+1} \le \wurzel{n^{2} + 2n + 3} [/mm] - [mm] \wurzel{n^{2}+2n+2} [/mm]

Aber was nun???

EDIT: Ich glaube, dass ich hier grad "monoton steigend" zeigen würde, aber möchte ja monoton fallend zeigen. also muss die Ungleichung genau anders herum sein. Trotzdem wäre jede Hilfe gut ;)


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Monotonie und Nullfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 So 06.02.2011
Autor: fencheltee


> Hmm..ok. Aber darf ich jetzt, wenn ich nun den Grenzwert
> nehme bzw. den Grenzübergang mache, einfach sagen, dass
> das Gesamte gegen 0 geht?

wieso sagen? der limes zeigt dir doch explozit an, dass es gegen 0 geht. da braucht man doch keine prosa für

>  
> Und wegen der Monotonie. Natürlich kenne ich diese
> Definition. Nur wie wendet man das hier an? Da steht dann
> doch:
>  
> [mm]a_{n} \le[/mm] _ [mm]a_{n+1}[/mm]

das hier bedeutet: streng monoton steigend...

>  
> Also:
>  
> [mm]\wurzel{n^{2}+2}[/mm] - [mm]\wurzel{n^{2}+1} \le \wurzel{(n+1)^{2}+2}[/mm]
> - [mm]\wurzel{(n+1)^{2}+1}[/mm]
>  
> Etwas gerechnet:
>  
>
> [mm]\wurzel{n^{2}+2}[/mm] - [mm]\wurzel{n^{2}+1} \le \wurzel{n^{2} + 2n + 3}[/mm]
> - [mm]\wurzel{n^{2}+2n+2}[/mm]
>  
> Aber was nun???

quadrieren könnte sich anbieten, aber dann wären die wurzeln immer noch nicht komplett weg.. evtl sieht hier ja jemand nen trick

>  
>
>  

gruß tee

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Monotonie und Nullfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:24 So 06.02.2011
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

auf beiden Seiten wieder dritte binomische Formel nutzen und dann mit der Monotonie der Wurzelfunktion argumentieren :-)

MFG,
Gono.

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