Monotonie v. Zahlenfolgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Di 06.05.2008 | | Autor: | sunbell |
| Aufgabe | | [mm] a_{n}=\bruch{a-n^2}{n} [/mm] |
Ich soll die MOnotonie der Folge untersuchen.
Ich habs irgendwie versucht, aber es funktioniert nicht.
[mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n}
[/mm]
aber am ende musste ich ne quadratische gleichung lösen, die nicht lösbar ist.
meine lehrerin hat uns letze stunde einen anderen komischen weg gezeigt..
da war [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}
[/mm]
jetzt sehe ich nicht mehr durch...
hoffentlich kann mir jemand helfen und mir auf die sprünge helfen..
vielleicht kann mir jemand auch versuchen den anfang zu erklären und ich versuche es weiterzumachen
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Di 06.05.2008 | | Autor: | sunbell |
[mm] a_{n}= \bruch{1-n^2}{n+1}
[/mm]
sry, hatte mich verschrieben
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Di 06.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo sunbell!
Diese Folgenvorschrift kannst Du doch drastisch vereinfachen:
[mm] $$a_{n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-n^2}{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(1-n)*(1+n)}{1+n} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Di 06.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo sunbell!
Es wäre schön gewesen, wenn Du mal Deine Ansätze hier gepostet hättest.
Grundsätzlich ist es doch ein und dasselbe, welche Form ich für die Monotonie verwende. Denn die folgenden 3 Ungleichungen sind gleichbedeutend:
[mm] $$a_{n+1} [/mm] \ > \ [mm] a_n$$
[/mm]
[mm] $$a_{n+1}-a_n [/mm] \ > \ 0$$
[mm] $$\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] \ > \ 1$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Di 06.05.2008 | | Autor: | sunbell |
jetzte nochmal eine allgemeine frage:
ich weiß ja, ob etwas monoton fallend oder steigend ist..
aber dann gibs ja noch den fall, dass etwas streng monoton fallend bzw. steigend ist.
wann tritt ein solcher fall auf?
ich verstehe dabei nicht, wenn die [mm] >,\ge,<,\le [/mm] vorkommen..
also ich merke mir wenn eine zahlenfolge z.B. 1,2,3,4,5 steigt mit der zahl, dann wird sie monoton steigend sein, aber ist sie denn streng monoton steigend?
ich hab mir einfach gemerkt, dass wenn bei den zahlen folgen keine zahl doppelt vorkommt, sie nicht strend monton fallend oder steigend ist..
aber wie sieht man das z.B. ab [mm] n+n^2+1 [/mm] >0 ??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:15 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo sunbell!
Wenn allgemein gilt [mm] $a_{n+1} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] a_n$ [/mm] , ist diese Folge streng monoton steigend. Das heißt, jede Folgeglied ist immer echt größer als das vorherige Glied.
Gilt dagegen "nur" [mm] $a_{n+1} [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] a_n$ [/mm] , redet man von normaler Monotonie (hier also "monoton steigend" , ohne das "streng"). Hier darf ein Folgeglied auch schon genauso groß sein wie das vorherige Glied.
Zum Beispiel: [mm] $a_n [/mm] \ : \ [mm] 0,1,2,3,\red{4},\red{4},6, [/mm] ...$
> also ich merke mir wenn eine zahlenfolge z.B. 1,2,3,4,5
> steigt mit der zahl, dann wird sie monoton steigend sein,
> aber ist sie denn streng monoton steigend?
Diese Folge scheint "streng monoton steigend" zu sein, denn die Folgenglieder werden immer größer und blieben nicht gleich.
> ich hab mir einfach gemerkt, dass wenn bei den zahlen
> folgen keine zahl doppelt vorkommt, sie nicht strend monton
> fallend oder steigend ist..
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Kommen keine Zahlen doppelt vor, und werden die gleider alle größer, handelt es sich um strenge Monotonie.
> aber wie sieht man das z.B. ab [mm]n+n^2+1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>0 ??
Forme diesen quadratischen Term mittels quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktsform um. Eine Parabel ist nämlich intervallweise stets streng monoton (ich gehe mal von einer nach oben geöffneten Parabel aus):
Intervall $\left]-\infty;-x_{\text{Scheitelpkt.}\right]$ : streng monoton fallend
Intervall $\left[-x_{\text{Scheitelpkt.};+\infty\right[$ : streng monoton steigend
Gruß
Loddar
|
|
|
|
