Monotonie zeigen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:20 Di 06.02.2007 | | Autor: | Fuffi |
| Aufgabe | Sei f: [1, [mm] \infty) \to \IR [/mm] stetig mit f(1)=0.
f sei auf (1, [mm] \infty) [/mm] differenzierbar und [mm] f^{'} [/mm] sei monoton wachsend auf (1, [mm] \infty)
[/mm]
Man zeige, dass g: [1, [mm] \infty) \to \IR [/mm] , [mm] g(x)=\bruch{f(x)}{x-1} [/mm] auf (1, [mm] \infty) [/mm] monoton wächst |
Ich habe keine Ahnung wie ich das zeigen soll. Ich weiß, dass f(x) ebenfalls monoton wächst, da [mm] f^{'} [/mm] monoton wächst. Aber das wars dann auch schon. Deshalb bräuchte ich einen Tip.
Danke im voraus.
Fuffi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keinen anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Di 06.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fuffi!
Berechne doch mal $g'(x)_$ gemäß  Quotientenregel und forme dann in der zu zeigenden Ungleichung $g'(x) \ > \ 0$ nach $f'(x) \ > \ ...$ um.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Fuffi |
Hallo Loddar,
leider komme ich jetzt erst dazu wieder zu Antworten.
Also ich habe das mal gemacht und raus bekommen:
[mm] g^{'}(x)=\bruch{f^{'}(x)(x-1)-f(x)}{(x-1)^{2}}
[/mm]
und da [mm] g^{'}(x) [/mm] > 0 habe ich das alles so umgeformt, dass ich jetzt stehen habe:
[mm] f^{'}(x)=\bruch{f(x)}{(x-1)}, [/mm] also [mm] f^{'}(x) [/mm] > g(x). Aber was kann ich daraus folgern?
Gruß Fuffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Mi 07.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo Loddar,
> leider komme ich jetzt erst dazu wieder zu Antworten.
> Also ich habe das mal gemacht und raus bekommen:
>
> [mm]g^{'}(x)=\bruch{f^{'}(x)(x-1)-f(x)}{(x-1)^{2}}[/mm]
>
> und da [mm]g^{'}(x)[/mm] > 0 habe ich das alles so umgeformt, dass
> ich jetzt stehen habe:
>
> [mm]f^{'}(x)=\bruch{f(x)}{(x-1)},[/mm] also [mm]f^{'}(x)[/mm] > g(x). Aber
> was kann ich daraus folgern?
So nix! du kannst aus f'(x) > [mm] \bruch{f(x)}{(x-1)}
[/mm]
rueckwaerts folgern g'>0 und damit g monoton wachsend.
Wenn f' monoton waechst heisst das NICHT dass f auch monoton waechst, wie du geschieben hast! (f' kann z.bsp von -2 bis 0 monoton wachsen, dann faellt f!)
aber aus f' monoton w. kannst du schliessen f ist konvex,
(das ist was man aus f' monoton w. immer schliesst)
und damit di Tangentensteigung in x f'(x) groesser als die Sehnensteigung von [mm] x_0< [/mm] x bis x. und wegen f(1)=0
ist die Sehnensteigung genau [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{(x-1)}=\bruch{f(x)}{(x-1)}
Gruss leduart
>
> Gruß Fuffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Fuffi |
Danke für die Antwort. Habe jetzt alles so weit verstanden!
Fuffi
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