Monotonieverhalten einer Fkt < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich bereite mich selbstständig auf die Abiturprüfung vor und arbeite geraden den Lehrplan ab. Aktuell befinde ich mich im Themengebiet Analysis bei der Kurvendiskussion. Nun hänge ich allerdings an der Bestimmung des Monotonieverhaltens.
Ich suche jemand der mir das vielleicht etwas näher bringen kann, da ich es nicht alleine schaffe.
Ich kenne diese beiden "Formeln":
f'(x) < 0 => streng monoton fallend
f'(x) > 0 => streng monoton wachsend
Ich weiß, das f' die erste Ableitung ist. Allerdings weiß ich jetzt nicht genau wie ich vorgehen soll.
Ich mach mal ein Beispiel.
[mm] f(x)=2x^4 [/mm] -5
f'(x)=8x³
Wenn ich jetzt rausfinden will ob die Funktion streng monoton wachsend oder fallend oder beides ist und wo, wie gehe ich da vor?
Muss ich dafür die Extremwerte nehmen? Also f'(x) = 0 setzen?
=> 8x³
Nullstelle =0 und dass ist eine dreifache Nst.
Bin ich auf dem richtigen weg? Mir wäre es lieb, wenn mir das jemand ausführlich erklären könnte, möglichst einfach und ohne, dass ich viel raten muss, sondern eine genaue anleitung wäre sehr hilfreich.
Liebe Grüße und Danke
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Hallo!
Wie du bei verschiedenen Kurvendiskussionen im Unterricht festgestellt haben wirst, sind Funktionen seltenst auf ihrem ganzen Definitionsbereich nur monoton wachsend oder nur monoton fallend.
Da die Ableitung die Steigung einer Funktion ausdrückt, muss sich natürlich auch in ihr niederschlagen, ob eine Funktion monoton wachsend oder fallend ist.
Wenn
$f(x) = [mm] 2*x^{4}-5$
[/mm]
$f'(x) = [mm] 8*x^{3}$,
[/mm]
kann man sehen, dass sowohl $f'(x) > 0$ als auch $f'(x) < 0$ eintreten kann. Beispielsweise ist $f'(-1) = -8 < 0, f(1) = 8 > 0$.
Das heißt, irgendwo ändert sich die Monotonie der Funktion.
Und wie du schon bemerkt hast, finden wir durch Berechnung der Extremstellen heraus, wo diese Änderung genau stattfindet. Denn an einer Extremstelle ist die Steigung 0, vorher ist sie aber anders als nachher.
Oben wäre also
$f'(x) = [mm] 8*x^{3} [/mm] = [mm] 0\gdw [/mm] x = 0$
Das heißt, bei x = 0 ändert die Funktion ihr Monotonieverhalten einmalig. Und nun brauchst du nur noch einen Testwert (ein x) für $x < 0$ und $x > 0$ einzusetzen und anhand der Ableitung zu überprüfen, was in dem jeweiligen Intervall für eine Monotonie vorliegt. Innerhalb des Intervalls zwischen zwei Extrempunkten bzw. [mm] -\infty [/mm] und [mm] \infty [/mm] kann sich die Monotonie nicht ändern, denn sonst gäbe es ja weitere Extrempunkte.
Bei obigem Beispiel wissen wir nun also, dass wir nur die beiden Intervalle [mm] $(-\infty,0)$ [/mm] und [mm] $(0,\infty)$ [/mm] zu untersuchen haben.
Oben hatten wir schon [mm] $x=-1\in(-\infty,0)$ [/mm] eingesetzt und festgestellt: $f(-1) = -8 < 0$, d.h. die Funktion $f(x)$ ist im Intervall [mm] $(-\infty,0)$ [/mm] (streng) monoton fallend.
Auch hatten wir schon [mm] $x=1\in(0,\infty)$ [/mm] eingesetzt und festgestellt: $f(1) = 8 > 0$, d.h. die Funktion $f(x)$ ist im Intervall [mm] $(0,\infty)$ [/mm] (streng) monoton wachsend.
Und das war's auch schon 
Grüße,
Stefan
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Hallo BlackSalad,
> Hallo,
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> ich bereite mich selbstständig auf die Abiturprüfung vor
> und arbeite geraden den Lehrplan ab. Aktuell befinde ich
> mich im Themengebiet Analysis bei der Kurvendiskussion. Nun
> hänge ich allerdings an der Bestimmung des
> Monotonieverhaltens.
> Ich suche jemand der mir das vielleicht etwas näher
> bringen kann, da ich es nicht alleine schaffe.
Kennst du unser  SchulMatheLexikon noch nicht?!
Dort kannst du alle relevanten Begriffe nachschlagen.
>
> Ich kenne diese beiden "Formeln":
>
> f'(x) < 0 => streng monoton fallend
> f'(x) > 0 => streng monoton wachsend
>
> Ich weiß, das f' die erste Ableitung ist. Allerdings weiß
> ich jetzt nicht genau wie ich vorgehen soll.
>
> Ich mach mal ein Beispiel.
>
> [mm]f(x)=2x^4[/mm] -5
> f'(x)=8x³
>
> Wenn ich jetzt rausfinden will ob die Funktion streng
> monoton wachsend oder fallend oder beides ist und wo, wie
> gehe ich da vor?
>
> Muss ich dafür die Extremwerte nehmen? Also f'(x) = 0
> setzen?
>
> => 8x³
> Nullstelle =0 und dass ist eine dreifache Nst.
>
> Bin ich auf dem richtigen weg? Mir wäre es lieb, wenn mir
> das jemand ausführlich erklären könnte, möglichst
> einfach und ohne, dass ich viel raten muss, sondern eine
> genaue anleitung wäre sehr hilfreich.
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>
> Liebe Grüße und Danke
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 So 01.11.2009 | | Autor: | BlackSalad |
Dankeschön für di tolle Erklärung! Jetzt habe ich es verstanden! Super!
Auch danke für den Hinweis auf das Mathelexikon - nein das kannte ich noch nicht.
:o)
liebe Grüße
Black Salad
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