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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 So 24.11.2013 | | Autor: | CaNi |
| Aufgabe | | Sei h: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] ein Polynom. Beschreiben Sie ein Monte-Carlo Verfahren zur numerischen Bestimmung von [mm] \integral_{\infty}^{-\infty}{dx exp(-x²) h(x)}! [/mm] Zeigen Sie die Konvergenz des Verfahrens. |
Hallo zusammen,
schon wieder eine Aufgabe bei der ich nicht weiter komme heute... Monte-Carlo Verfahren, da stehe ich auf Kriegsfuß...
also bei monte-carlo wird ja quasi immer das schwache Gesetz der großen Zahlen angewandt, ein Grund wieso mir das nicht schlüssig ist...
Also müsste man hier irgendwie sagen:
[mm] \wurzel{\pi} [/mm] * [mm] \integral_{\infty}^{-\infty}{dx exp(-x²) h(x)/\wurzel{\pi}}
[/mm]
X ~ [mm] N(0,\bruch{1}{2})
[/mm]
dann "generiert" man [mm] x_{1}, x_{2}.. [/mm] iid [mm] N(0,\bruch{1}{2})
[/mm]
und sagt dann mit dem schwachen Gesetz der großen Zahlen:
[mm] \bruch{\wurzel{\pi}}{N} [/mm] * [mm] \summe_{i=0}^{n} h(x_{i}) [/mm] --> [mm] \wurzel{\pi}
[/mm]
So in der Art ist es sicher richtig oder? Verstehen tue ich leider nicht wirklich viel... Wieso am Anfang erweitern mit [mm] \wurzel{\pi} [/mm] und was ist dieses "generiere" [mm] x_{1},... [/mm] und wieso kann man dann einfach sagen das es konvergiert? Finde auch einfach keine verständliche Beschreibung zu dem Monte-Carlo Verfahren :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 So 24.11.2013 | | Autor: | Fry |
Hey CaNi,
also wenn´s richtig verstanden habe, gehts ja dann so:
Nach dem starken Gesetz der großen Zahlen gilt ja
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i=E[X_1]$ [/mm] P-fast sicher,
falls die [mm] $X_i$ [/mm] st.unabhängig, identisch verteilt und [mm] $E[X_1]$ [/mm] existiert.
Schaut man sich das Integral so ist dies gerade [mm] $=\sqrt{\pi}*E[h(X_1)]$
[/mm]
wobei [mm] $X_1$~$\mathcal N\left(0,\frac{1}{2}\right)$
[/mm]
Nun gilt entsprechend obigen Gesetzes für [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] st.u., identisch [mm] $\mathcal N\left(0,\frac{1}{2}\right)$-verteilt,
[/mm]
dass [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\pi}}{n}\sum_{i=1}^{n}h(X_i)=\sqrt{\pi}*E[h(X_1)]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x}h(x)dx$
[/mm]
P-fast sicher.
d.h. man simuliert z.B. mit der Polarmethode oder Box-Muller-Methode möglichst viele unabhängige [mm] $\mathcal [/mm] N(0,1/2)$-verteilte Zufallszahlen [mm] $x_1,...,x_n$.
[/mm]
Für großes n gilt dann also näherungsweise [mm] $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x}h(x)dx=\frac{\sqrt{\pi}}{n}\sum_{i=1}^{n}h(x_i)$
[/mm]
LG
Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 So 24.11.2013 | | Autor: | CaNi |
Hi Fry,
also deine Erklärung ist echt super und du hast mir heute mehr als genug geholfen... Wirklich super!!
aaaber eins ist mir noch nicht ganz klar leider woher kommt das [mm] \wurzel{\pi} [/mm] genau? Aus dem Integral des Erwartungswertes? und wie kommt man dann auf $ [mm] \mathcal N\left(0,\frac{1}{2}\right) [/mm] $ ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 So 24.11.2013 | | Autor: | Fry |
Wie lautet denn die Wkeitsdichte einer [mm] $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$-Verteilung?
[/mm]
Bei einer absolutstetig verteilten Zufallsvariablen $X$ mit Dichte $f$ auf [mm] $\mathbb [/mm] R$ gilt:
[mm] $E[h(X)]=\int_{-\infty}^{\infty} [/mm] h(x)*f(x)dx$
also z.B.
$E[ln [mm] X]=\int_{-\infty}^{\infty} [/mm] ln(x)*f(x)dx$
[mm] $E[X^2]=\int_{-\infty}^{\infty} x^2*f(x)dx$
[/mm]
usw.
Setze die Dichte dann mal ein...
[ kleine Erinnerung: für diskrete Zufallsvariable X mit Wertebereich [mm] $X(\Omega)$ [/mm] gilt übrigens:
[mm] $E[h(X)]=\sum_{k\in X(\Omega)}h(k)*P(X=k)$
[/mm]
$E[ln [mm] X]=\sum_{k\in X(\Omega)}ln(k)*P(X=k)$
[/mm]
[mm] $E[X^2]=\sum_{k\in X(\Omega)}k^2*P(X=k)$ [/mm] ]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 So 24.11.2013 | | Autor: | Fry |
wobei ich gerade sehe, dass in der Dichte eigentlich nen Quadrat fehlt....hast du das vielleicht vergessen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 So 24.11.2013 | | Autor: | CaNi |
Hi,
danke für die gute Hilfe!! Ich habe tatsächlich das quadrat vergessen... tut mir leid es müsste exp(-x²) heissen
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